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Niveau première
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Vecteurs

Posté par
cheryl
31-03-18 à 22:38

Bonsoir , pouvez vous m'aider à resoudre cet exercice et merci d'avance :
Soit (x,y)
Et (x',y')
Montrer que:
Sin(,)=(xy'-x'y)/(x2+y2)x(x'2+y'2)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Vecteurs 31-03-18 à 23:11

Bonjour,

avec le sinus, les angles sont forcément orientés car (, ) = -(, ) (à k2pi près)

on peut alors opérer comme suit :

prouver que en définissant (-y, x) on a l'angle (, ) = pi/2 (à k2pi près)

alors (, ) = (, ) + (, ) = (, ) + pi/2 (à k2pi près)

soit sin( (, )) = sin((, ) + pi/2) = cos((, ) )

et ce cosinus là on peut le calculer par le produit scalaire .

Posté par
cheryl
re : Vecteurs 01-04-18 à 01:26

Je n'ai toujours pas compris !
Comment je pourrai demontrer mon egalité?!
Ce seraif vraiment gentil de votre part si vous m'expliquiez etape par etape!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Vecteurs 01-04-18 à 10:10

à ton niveau (première) le seul moyen connu pour calculer un angle est avec le produit scalaire
malheureusement cela donne un cosinus
on pourrait certes (calculs un peu pénibles mais pourquoi pas) utiliser cos² + sin² pour en déduire le sinus
mais le signe de ce sinus serait à jamais inconnu

donc pour obtenir le sinus désiré on va utiliser les angles associés
ici j'ai choisi sin(t+pi/2) = cos t
d'où les calculs effectués ci dessus
t+pi/2 est l'angle cherché (u; v)
d'où la décompsition de cet angle cherché en un angle t et un angle de pi/2 par Chasles
etc

les coordonnées du vecteur w = u "tourné de +pi/2" s'obtiennent par :
sin(t+pi/2) = cos t
ordonnée du vecteur w = abscisse de u
et cos(t+pi/2) = -sin t
abscisse de w = - ordonnée de u
le vecteur w (-y; x) est donc le vecteur u tourné de 90° dans le sens trigo.
après c'est que de la recopie

reprends tout calmement et dis précisément ce qui te bloque

à la fin (calcul laissés à ta charge) le produit scalaire de w (-y; x) et de v (x'; y')
est :
d'une part xy' + x'(-y)
d'autre part |w|.[v|. cos (w; v) = |u[.|v|.sin(u; v)
et c'est fini, en égalant ces deux expressions ça donne sin(u; v)



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