Bonjour Anthony


On va montrer par exemple que les vecteurs MP et MN sont
colinéaires :
MP = MB + BP
= 2MC - 6PA
= 2MN + 2NC - 6PN - 6NA
= 2MN + 6NA - 6PN - 6NA
= 2MN - 6PN
= 2MN - 6PM - 6MN

Donc :
-5MP = 2MN
MP = -2/5 MN

Les vecteurs MP et MN sont donc colinéaires, les points
M, N et P sont donc alignés.

A toi de tout refaire, bon courage ...

Dans le repère (A; AB; AC)

A(0 ; 0)
B(1 ; 0)
C(0 ; 1)
M(X ;Y)

vect(MB) : (1-X ; -Y)
vect(MC) : (-X ; 1 - Y)

vect(MB) = 2.vect(MC) ->
1-X = -2X
-Y = 2(1-Y)

X = -1 et Y = 2
->M(-1 ; 2)
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N(X' ; Y')
vect(NC) : (-X' ; 1 - Y')
vect(NA) : (-X' ; -Y')

vect(NC) = 3.vect(NA) ->
-X' = -3X' -> X' = 0
1 - Y' = -3Y' -> Y' = -1/2
-> N(0 ; -1/2)
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P(X'' ; Y'')
vect(PA) : (-X'' ; -Y'')
vect(PB) : (1 - X'' ; -Y'')

vect(PA) = (1/6).vect(PB) ->
-X'' = (1/6)(1-X'')   -> X'' = -1/5
-Y'' = -(1/6)Y''  -> Y'' = 0
-> P(-1/5 ; 0)
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vect(MN) : (1 ; -5/2)
vect(NP) : (-1/5 ; 1/2)

On a donc vect(NP) = -(1/5).vect(MN)

Les droites (NP) et (MN) sont dond parallèles, mais comme elles ont le
point N en commun, elles sont confondues.
-> Les points M, N et P sont alignés.
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Sauf distraction.