bonjour
permettez moi de vous répondre.


J'ai déjà répondu dans un précédant exo pour la droit d'euler des
point O,H et G qui sont tels que:

OH=3OG

je reprends à partir d'ici.

3.Cercle d'Euler:
Soit I,J et K les milieux respectifs des segments [AH],[BH] et [CH], et
X le milieu de [OH] (X à la place du grand Oméga)

a.exprimé en decomposan, le vecteur IH en fonction du vecteur OA'?

comme I est le milieu de AH donc

2OI=OA+OH=OA+OA+OB+OC    ;  ( en utilisant *)
     = 2OA+OB+OC

comme A' est le milieu de BC donc

2OA'=OB+OC

donc

2OI=2OA+2OA'

donc OI=OA+OA'

IH=OH-OI=OA+OB+OC-(OA+OA')
    =OB+OC-OA'
    =2OA'-OA'    ; car 2OA'=OB+OC
    =OA'

donc IH=OA'

cette relation montre que le quadrilatère IHA'O est un parallélogramme.

En déduire le milieu de [IA'] ?

Comme IA' est la diagonale du parallélogramme IHA'O donc elle
a le même milieu que l'autre diagonale  HO qui est le point
X.

donc X est le milieu de IA'.

Un raisonnement analogue permet de montrer que ce point X est aussi
le milieu de [JB'] et [KC'].

b.Démontrer que AIA'O est un parallélogramme. ?

Ona démontré en a que OI=OA+OA'

donc OI-OA'=OA

A'I=OA

cette dernière relation montre que AIA'O est un parallélogramme.

En déduire l'égalité  XA' =1/2vecteur AO?

comme AIA'O X est le milieu de A'I donc XA'=1/2IA'

comme IA'=AO donc XA'=1/2AO.


exprimé la longueur   ||XA'||  en fonction de R ?

comme R est le rayon du cercle cyroncrit au triangle ABC et que O est le
centre de ce cercle donc:

||OA||=R

||XA'||=||1/2AO||=1/2||AO||=R/2.



c.Sans refaire de démonstration, indiqué les relations entre  
||XB'||  et R ainsi qu'entre   ||XC'|| et R. ?

la symétrie du problème fait jouer à A',B' et C' le m^me
rôle. donc on peut intervertir A' et B' et A' et C'
dans la relation: ||XA'||=R/2.

cela donne : ||XB'||=R/2 et ||XC'||=R/2.


d. démontrer :||XA'||=||XB'||=||XC'||=||XI||=||XJ||=||XK||?

comme X est le milieu de A'I donc ||XI||=||XA'||.

de la même manière ||XJ||=||XB'||. et ||XK||=||XC'||.

donc :

||XA'||=||XB'||=||XC'||=||XI||=||XJ||=||XK||=R/2.


En déduire que les pts A', B',C', I, J et K sont sur
un meme cercle (GAMMA) dont on précisera le centre
et le rayon.Le tracer. ?

la relation:

||XA'||=||XB'||=||XC'||=||XI||=||XJ||=||XK||=R/2.

montre que les pts A', B',C', I, J et K sont sur
un meme cercle (GAMMA) dont le centre est X et le rayon est R/2.

Le tracer. ?  vous tracez ce cercle.


e. Soient A1, B1, et C1 les pieds des hauteurs issues respectivement
de A, B et C ds le triangle ABC.
En considérant le triangle IA1A', démontrer que A1 est un point
du cercle (GAMMA)?

le triangle IA1A' a son coté IA' comme diamètre du cercle
(GAMMA). D'autre part le coté IA1 est perpendiculaire à A1A'
car AA1 est la hauteur issue de A et A, I et A1 sont alignés.

dpnc le triangle IA1A' est rectangle en A1 avec le conté IA'
comme diamètre du cercle GAMMA donc le point A1 appartient au cercle
GAMMA.

En concidérant les triangle JB'B1 on montre que B1 appartient à
GAMMA.

et en considérant le triangle KC1C' on montre que C1 appartient
à GAMMA.


Le cercle(GAMMA) est le cercle des neuf pts A1,B1,C1,A',B',C',I,J,K
ou cercle d'Euler du triangle su triangle ABC, du nom de Leonhardt
Euler.


Voila

je vous pose une question: que devient la droite et lecercle d'Euler
si le triangle ABC est équilatéral.?

Je vous demande de reprendre cette démonstration sans la regarder car
c'est le but.

Car je vous serais grée de m'éviter d'avoir trahir la mission
de votre professeur qui aspire à votre compréhension de votre cours.

bon courage.