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Niveau seconde
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Vecteurs

Posté par
Louane112
10-02-21 à 15:41

Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à terminer un exercice sur les vecteurs.
Le voici :
ABCD est un parallélogramme de centre E. Le point F est défini par CF = 2AC et le point G par AG = 1/3 * AB + AC.
Faire j'en figure à main levée et démontrer que les points E, F et G sont alignés.

J'ai fait la figure et je sais que pour démontrer cela, il faut démontrer que les vecteurs EF et EG sont colinéaires donc que EG = k * EF (je crois) mais je ne sais pas du tout comment faire.

Merci d'avance pour vos réponses.
PS : Je suis en première mais je n'ai pas fait les vecteurs l'année dernière à cause du confinement donc j'ai un peu de mal :/

Posté par
Priam
re : Vecteurs 10-02-21 à 15:52

Bonjour,
Il résulte des données de l'énoncé que le vecteur EF est colinéaire au vecteur AC, tandis que le vecteur EG ne l'est pas.
Les vecteurs EF et EG ne sauraient donc être colinéaires.
Il doit y avoir une erreur dans l'énoncé.

Posté par
hekla
re : Vecteurs 10-02-21 à 15:53

Bonjour

Êtes-vous sûr de votre texte ?  
Postez votre figure.

Posté par
Louane112
re : Vecteurs 10-02-21 à 15:55

Oui excusez-moi j'ai mis ABCD au lieu de ACBD (sans doute l'habitude).

Posté par
Louane112
re : Vecteurs 10-02-21 à 16:51

Mais je ne m'étais pas trompée sur ma feuille en faisant l'exercice... donc je suis toujours bloquée.

Posté par
hekla
re : Vecteurs 10-02-21 à 16:58

D'abord la figure
Vecteurs

Ecrivez \vec{EF} en passant par A puis \vec{EG}

Comme ces vecteurs sont écrits en fonction de \vec{AB} et \vec{AC} il sera aisé de trouvé k

Posté par
Louane112
re : Vecteurs 10-02-21 à 17:27

Je n'y arrive pas vraiment,
J'ai exprimé EF en fonction de A :
EF = EA + AF

Et EG :
EG = EA + AG

Donc j'en ai déduis :
EG = EF - AF + AG
EG = EF + FA + 1/3 AB + AC
EG = EF + FA + 1/3 AB + 1/2 CF

Je ne sais pas du tout si c'est la bonne piste mais je ne vois dans tous les cas pas où ça me peut mener à k.

Posté par
hekla
re : Vecteurs 10-02-21 à 17:41

\vec{EF}=\vec{EA}+\vec{AF} = \dfrac{-1}{2}\vec{AB}+3\vec{AC}

 \vec{EG} =\vec{EA}+\vec{AG}

Remplacez \vec{EA} par sa valeur en fonction de \vec{AB} et \vec{AG} par la valeur donnée  
simplifiez
et comparez

Posté par
Louane112
re : Vecteurs 10-02-21 à 17:53

Je vois,
Donc j'obtiens :
EF = -1/2 AB + 3AC

EG = -1/2 AB + 1/3 AB + AC
EG = -1/6 AB + AC

Je vois que 1/3 EF = 1/3 * (-1/2) * AB + 1/3 * 3 * AC
Ce qui vaut :
1/3 EF = -1/6 AB + AC = EG
Donc EG = 1/3 EF ?

Posté par
hekla
re : Vecteurs 10-02-21 à 17:58

Si vous voulez   Pourquoi ce ? n'est-ce pas ce que vous avez montré ?

Posté par
Louane112
re : Vecteurs 10-02-21 à 18:01

Si mais j'avais peut-être fait une erreur dans mes calculs.
En fait avec ce genre d'exercice j'ai beaucoup de mal à démarrer et à trouver des liens entre les vecteurs même si je sais ce qu'il faut démontrer.

Posté par
hekla
re : Vecteurs 10-02-21 à 18:05

Il reste la conclusion à écrire

À force  on arrive à voir par où passer

Posté par
Louane112
re : Vecteurs 10-02-21 à 18:39

La conclusion : Les vecteurs EF et EG sont donc bien colinéaires car il est existe un réel k tel que EG = k EF. Ainsi les points E F et G sont donc bien alignés (propriété du cours).
Oui j'imagine, merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
hekla
re : Vecteurs 10-02-21 à 18:47

De rien

N'oubliez pas les flèches sur les vecteurs



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