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Niveau terminale
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Vecteurs

Posté par
nessmath 05-11-21 à 21:03

Bonsoir, j'aimerais qu'on puisse m'aider pour mon exercice merci,

On considère A, B, C, et D quatre points de l'espace non coplanaires. On note I, J, K et L les milieux respectifs de (AD), (CD) (BC)et (AB).
On note G le milieu de (IK) et Ω le centre de gravité du triangle BCD définie par \vec{\Omega }D = \frac{2}{3}\vec{KD}

On souhaite démontrer par deux méthodes différents que les points Ω, G et A sont alignés.

Partie A : Méthode vectorielle
1. Démontrer que \vec{AC}+\vec{AB}= 2\vec{AK}
2.En déduire que \vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}= 4\vec{AG}
3.
a/ Démontrer que \vec{\Omega }A = \frac{1}{3}\vec{BC}+\frac{2}{3}\vec{CD}+\vec{DA}
b/ Démontrer que \vec{\Omega }A= \frac{-1}{3}\vec{AB}- \frac{1}{3}\vec{AC}-\frac{1}{3}\vec{AD}
c/ En déduire l'alignement des points Ω, G, et A

Vecteurs

Posté par
nessmathre : Vecteurs 05-11-21 à 21:06

Pour la 1 j'ai dejà trouvé mais la 2 je bloque un peu,
2. \vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD} = 2\vec{AK}+ \vec{AD}
2(\vec{AG}+\vec{GK}) +(\vec{AG}+\vec{GD})
3\vec{AG}+ \vec{GK}+ \vec{GD}
...

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 05-11-21 à 23:14

Bonsoirnessmath
pour la 2 )
tu oublies des données
G le milieu de [IK]
et I milieu de [AD]

Posté par
nessmathre : Vecteurs 06-11-21 à 11:56

Oui je bloque toujours pour la suite :
\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}=2\vec{AK}+\vec{AD}
=2(\vec{AG}+\vec{GK})+(\vec{AG}+\vec{GD})
=3\vec{AG}+\vec{GK}+\vec{GD}
=3\vec{AG}+\frac{1}{2}\vec{IK}+(\vec{GA}+\vec{AD})
...

Merci de m'aider

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 06-11-21 à 13:20

\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}=2\vec{AK}+\vec{AD} ok

2\vec{AK}=2\vec{AG}+2\vec{GK}  ok

G le milieu de [IK]
et I milieu de [AD]

Posté par
nessmathre : Vecteurs 06-11-21 à 13:49

Merci pour votre réponse mais je bloque toujours
2\vec{AG}+2(\vec{GA}+\vec{AK})+2\vec{AI}
...
Pouvez-vous me donner plus de précision s'il vous plaît

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 06-11-21 à 14:20



\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}=2\vec{AK}+\vec{AD} ok

2\vec{AK}=2\vec{AG}+2\vec{GK}  ok

ok  pour \vec{AD}=2\vec{AI} puisque  I milieu de [AD]


  or on sait que G est le milieu de [IK}    à utiliser

Posté par
nessmathre : Vecteurs 06-11-21 à 14:54

Alors, 2\vec{GK}=\vec{IK}
Donc, 2\vec{AG}+\vec{IK}+2\vec{AI}

Mais je voit pas en quoi cette égalité va m'aider à trouver le vecteur AG manquant

Posté par
nessmathre : Vecteurs 06-11-21 à 15:12

J'ai essayé de decomposer cette égalité :

=2\vec{AG}+(\vec{IA}+\vec{AK})+\vec{AI}+\vec{AI}
=2\vec{AG}+\vec{IA}+\vec{AI}+\vec{AI}+\vec{AK}
=2\vec{AG}+\vec{AI}+\vec{AK}

Mais est-ce que on peut dire que \vec{AI}+\vec{AK}=\vec{AG} ?

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 06-11-21 à 15:18

      G est le milieu de [IK}  
Alors, 2\vec{GK}=\vec{IK}  OUI  , mais il y a en d'autres  
  tu n'as pas pris la bonne...
Une permet de trouver  les 2\vec{AG}manquants
  Donc, 2\vec{AG}+\vec{IK}+2\vec{AI} et devient
2\vec{AG}+........+2\vec{AI} =4\vec{AG}

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 06-11-21 à 15:19

je viens de voir ton dernier message...

Posté par
nessmathre : Vecteurs 06-11-21 à 15:30

Alors je suis allé dans la bonne direction sur le dernier message ?

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 06-11-21 à 15:39

Non  puisque
\vec{AI}+\vec{AK}\neq \vec{AG}
relis mon message de 15.18
  

Posté par
nessmathre : Vecteurs 06-11-21 à 16:02

Ahhh enfin j'ai trouvé, merci ! J'au du coup remplacé 2\vec{GK} = 2\vec{IG}

Alors la 3-a c'est bon j'ai réussi, mais la 3-b je bloque sur une seul vecteur qui m'empeche de trouver le résultat recherché.

Est-ce que on peut dire que \vec{AK}=\vec{AC}=\vec{AB}  puisqu'on me dit que K est le milieu de (CB) ?

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 06-11-21 à 17:20

OK pour la 2) en justifiant ton égalité   2\vec{GK} = 2\vec{IG}

\vec{AK}=\vec{AC}=\vec{AB}  
Ces trois vecteurs ne sont égaux ; revois la définition...
K milieu de [CB}  tu peux écrire  ceci    
\vec{KC}+\vec{KB}=\vec{0} \\
\vec{KC}=\vec{BK}=\dfrac{1}{2}\vec{BC} \\
pour la 3)
il faut partir de la définition  donnée de  \Omega
\vec{\Omega D}=\dfrac{2}{3} \vec{KD}
et  introduire le point A

Posté par
nessmathre : Vecteurs 06-11-21 à 19:30

Oui c'est ce que j'avais fait pour la 3-a
J'ai voulu partir de la même chose pour la 3-b mais je me retrouve avec plein de décompositions qui n'aboutissent pas.

b-
\vec{\Omega }A=\vec{\Omega }D+\vec{DA}
=\frac{2}{3}\vec{KD}-\vec{AD}
=\frac{2}{3}(\vec{KC}+\vec{CD})-\vec{AD}
=\frac{2}{3}\vec{KC}+\frac{2}{3}\vec{CD}-\vec{AD}

Bon et du coup à chaque fois je décomposait, mais est-ce que au moins je suis partie du bon pied

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 06-11-21 à 20:38

tu sais que[
2\vec{KA}=\vec{AB}+\vec{AC}  
    
\vec{\Omega D}=\dfrac{2}{3}\vec{KD}
introduis le point A  pour  les  deux vecteurs

Posté par
nessmathre : Vecteurs 06-11-21 à 21:16

Je bloque toujours;

=\frac{2}{3}\vec{KD}+\vec{DA}
=\frac{2}{3}(\vec{KA}+\vec{AD})-\vec{AD}

Est-ce que je peut dire que \vec{KA}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC}) ?
Merci,

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 06-11-21 à 21:48

écris des égalités
.........=\frac{2}{3}\vec{KD}+\vec{DA}
........=\frac{2}{3}(\vec{KA}+\vec{AD})-\vec{AD}
si
\vec{AC}+\vec{AB}= 2\vec{AK}
alors tu peux écrire
\vec{KA}=\dfrac{1}{2}(\vec{CA}+\vec{BA})
et la relation de Chasles permet  de faire apparaitre des vecteurs demandés...

Posté par
nessmathre : Vecteurs 06-11-21 à 22:10

J'ai re-calculé avec vos remarques et c'est bon j'ai réussi merci beaucoup !

Pour la dernière question, les points \Omega , G\: et \: A sont alignés sss les vecteurs sont colinéaires.
Et on sait que \vec{\Omega }A= -4\vec{AG} puisque -\frac{1}{3}\vec{AB}-\frac{1}{3}\vec{AC}-\frac{1}{3}\vec{AD}= -4\vec{AG}

C'est bien cela ?

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 07-11-21 à 07:16

on sait que
\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}= 4\vec{AG}

\vec{\Omega A}= \frac{-1}{3}\vec{AB}- \frac{1}{3}\vec{AC}-\frac{1}{3}\vec{AD}
tu écris
4\vec{AG} =\vec{\Omega A}
corrige ton erreur

Posté par
nessmathre : Vecteurs 07-11-21 à 13:44

Oui mais on est d'accord que 4\vec{AG}\neq \frac{-1}{3}\vec{AB}\frac{-1}{3}\vec{AC}\frac{-1}{3}\vec{AD}


Donc il faudrait que à 4\vec{AG} j'y rajoute 3\times \frac{-1}{3} ce qui est égale à -1

Donc \frac{-1}{3}\vec{AB}\frac{-1}{3}\vec{AC}\frac{-1}{3}\vec{AD}=-4\vec{AG}

Posté par
nessmathGéometrie dans l'espace 07-11-21 à 13:57

Bonjour, j'aimerais avoir votre approviation pour un exercice que je suis en train de faire

On considère A, B, C, et D quatre points de l'espace non coplanaires. On note I, J, K et L les milieux respectifs de (AD), (CD) (BC)et (AB).
On note G le milieu de (IK) et Ω le centre de gravité du triangle BCD définie par \vec{\Omega }D = \frac{2}{3}\vec{KD}

On souhaite démontrer par deux méthodes différents que les points Ω, G et A sont alignés.

Méthode analytique :
Le plan est rapporté au repère (D, \vec{DC},\vec{DB},\vec{DA})

1. Lire les cordonnées des points A, B, C et D
2.  a.Calculer les cordonnées de points I, J, K et L
      b. En déduire les cordonnées du point G
3. a.Déterminer les cordonnées du point \Omega
     b. Determiner les cordonnées du vecteur \vec{AG} et \vec{\Omega }
     c. En déduire l'alignement des points \Omega, G et A

Géometrie dans l\'espace

*** message déplacé ***

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 07-11-21 à 14:03

c'est faux

4\vec{AG}=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD} \\ \\
donc
-4\vec{AG}=-\vec{AB}-\vec{AC}-\vec{AD} \\

que vaut  -\dfrac{1}{3}\vec{AB}-\dfrac{1}{3}\vec{AC}-\dfrac{1}{3}\vec{AD}=...........

Posté par
nessmathre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 14:03

Approbation*
Du coup pour la 1 pour trouver les cordonnées du point je suis partie de l'origine et j'ai traduit le chemin par une combinaison linéaire afin de trouver les vecteurs demandées.

Pour le point A (0 ;0 ;1)
B(0; 0; 1)

Je suis partie du bon pied ?

*** message déplacé ***

Posté par
nessmathre : Vecteurs 07-11-21 à 14:07

\frac{-1}{3}\vec{AB}\frac{-1}{3}\vec{AC}\frac{-1}{3}\vec{AD}= \vec{\Omega }A

Et moi je cherche à que \vec{\Omega }A = -4\vec{AG} pour qu'ils soit colinéaires

Posté par
PLSVUre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 14:07

Bonjournessmath
tu  devais continuer sur  l(autre topic , c'est la deuxième methode

A (0 ;0 ;1)  OUI
B(0; 0; 1)
les points A et B ont les mêmes coordonnées...

*** message déplacé ***

Posté par
nessmathre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 14:14

Ah d'accord desolé il me semblait plus facile pour vous de tout écrire à nouveau pour mieux comprendre

Oui en effet je me suis trompé
B(0 ,1 ,0)

Pour la question 2/ a pour les cordonnées j'ai calculé les milieux des cordonnées pour I qui est le milieu de (DA) j'ai fait
I(\frac{xD+xA}{2}; \frac{yD+yA}{2};\frac{zD+zA}{2})
Ce qui donne ( 0; 0 ; 0,5)

*** message déplacé ***

Posté par
PLSVUre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 14:24

OK

*** message déplacé ***

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 07-11-21 à 14:29

  Deux vecteurs non nuls 𝑢⃗⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires si, et seulement si, il existeun nombre réel 𝒌 tel que 𝒗⃗⃗ = 𝒌 𝒖⃗⃗.
ici k≠4

Posté par
nessmathre : Vecteurs 07-11-21 à 14:34

Je voit pas du tout quel réél pourrais remplacer k si ce n'est pas 4...

Pourrait je avoir un indicie s'il vous plait, graphiquement je voit que ces points sont alignés mais le traduire en une égalité vectorielle je n'ai pas trop d'idées..

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 07-11-21 à 14:40

   \red{-\dfrac{1}{3} \vec{AB} \red{-\dfrac{1}{3} \vec{AC} \red{-\dfrac{1}{3} \vec{AD}
tu  vois le réel 4  ou  un autre réel  , si oui lequel?

Posté par
nessmathre : Vecteurs 07-11-21 à 15:58

Le réel -1 ? Donc \vec{\Omega }A=-1\vec{AG}

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 07-11-21 à 16:02

      que devient le 3 ? il disparait ?  tu crois qu'il est inutile ?
factorise l'expression
\vec{\Omega A}= \red{-\dfrac{1}{3} \vec{AB} \red{-\dfrac{1}{3} \vec{AC} \red{-\dfrac{1}{3} \vec{AD}

Posté par
nessmathre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 16:06

J'aimerais avoir votre approbation pour le 2.b

Alors on sait que G est les milieu de (IK)
Et on sait d'après les calculs précédents que I( 0; 0; \frac{1}{2}) et K(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 0)

Donc en faisant la moyenne des cordonnées j'ai trouvé G(\frac{1}{4};\frac{1}{4}; \frac{1}{4})

C'est bien cela ? mercii

*** message déplacé ***

Posté par
PLSVUre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 16:09

OUI  OK

*** message déplacé ***

Posté par
nessmathre : Vecteurs 07-11-21 à 16:10

Si je factorise : \frac{-1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})
Donc \vec{\Omega }A = \frac{-1}{3}\vec{AG}
Merci

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 07-11-21 à 16:17

presque ....
Si je factorise : \frac{-1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}) OK
Donc \vec{\Omega }A = \frac{-1}{3}........

que vaut (\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})=.................

Posté par
nessmathre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 16:33

Alors j'ai continué l'exercice et pour les cordonnées du point \Omega j'ai utilisé la formule du centre de gravité pour les cordonnées.
Mais c'est pour la dernière question que je bloque comment savoir qu'ils sont alignés quand il s'agit de cordonnées ?
J'ai trouver que \vec{AG}=( \frac{1}{4}; \frac{1}{4};\frac{1}{4})
A\vec{\Omega }= (\frac{1}{3};\frac{1}{3};-1)
Merci

*** message déplacé ***

Posté par
nessmathre : Vecteurs 07-11-21 à 16:37

Donc \Omega A= 4\times \frac{-1}{3} = \frac{-4}{3}\vec{AG}

C'est ce que j'avait fait au debut mais j'a fait une erreur de frappe en additionant les fractions

C'est bien cela du coup ?

Posté par
PLSVUre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 16:39

J'ai trouver que \vec{AG}=( \frac{1}{4}; \frac{1}{4};\frac{1}{4}) attention  
( \frac{1}{4}; \frac{1}{4};\frac{1}{4}) sont les coordonnées du point G  
et non celles du vecteur  \vec{AG}
A\vec{\Omega }= (\frac{1}{3};\frac{1}{3};-1)   OK

*** message déplacé ***

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 07-11-21 à 16:40

OUÌ

Posté par
nessmathre : Vecteurs 07-11-21 à 16:42

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 07-11-21 à 16:50

tu  remarques que le réel k est égal à -4/3 ....

Posté par
nessmathre : Vecteurs 07-11-21 à 17:06

Oui donc \vec{\Omega }A et  \vec{AG} sont colinéaires donc ils sont alignés.

Posté par
nessmathre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 17:09

Ah mais je me suis tromper en recopiant c'est plutôt : \vec{AG}=(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\frac{-3}{4})
Mais c'est pour la dernière question que je bloque comment savoir qu'ils sont alignés quand il s'agit de cordonnées ?

*** message déplacé ***

Posté par
PLSVUre : Géometrie dans l'espace 07-11-21 à 17:51

attention
\vec{AG}  (1/4;1/4;-3/4) ( tu  indiques ses coordonnées ) pas de signe d'égalité
erreur déja signalée voir message  07-11-21 à 16:33
\vec{AG}=(1/4)\vec{DB}+(1/4)\vec{DC}-(3/4)\vec{DA}

  détermine le réel k   tel que
\vec{A \Omega }=k\vec{AG}

*** message déplacé ***

Posté par
PLSVUre : Vecteurs 07-11-21 à 17:52

OUi  

Posté par
mathafou Moderateurre : Vecteurs 07-11-21 à 18:18

Bonjour
les deux parties de cet exo regroupées dans une seule discussion comme il se doit
(modérateur)

Posté par
nessmathre : Vecteurs 07-11-21 à 21:11

Je suis de retour,

Merci mathafou.
Alors j'ai trouvé \vec{AG}=\frac{3}{4}\times \vec{A\Omega }


Merci beaucoup pour votre aide PLSVU, bonne fin de soirée.

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