Salam,
   AMxAN, c'est un produit scalaire?

Si C'est le cas, tu mets la première relation au carré, et tu remplaces dans la deuxième. Bonne chance!

  

Je ne vois toujours pas ...
J'obtiens bien :
-AN²-AM²-2(ABscalaireAN) -(ANscalaireAM) -2(AMscalaireAB)
En quoi cela m'arrange ?

la première relation nous donne:
AB²=(AM+AN)² donc AB²=AM²+AN²+2AM.AN (1)
On a d'après la deuxième AB²=-AM.AN (2)
(1)-(2) AM²+AN²+AM.AN=0

C'est en fait AM²+AN²+3AM.AN=0

bonjour BlAcKWiNgS

considérez le milieu I de M et N:

IM+IN=0    ; en vecteur

et AM+AN=2AI

donc la relation AB+AN+AM=0 devient AB+2AI=0 donc AI=-AB/2 ; en vecteur

remarquez que I est bien défini en fonction de A et B et qu'il ne dépend plus de M et N. c-a-d qqs soient les positions prisent par M et N dans l'espace leur milieu I est toujours bien défini relativement à A et B par AI=-AB/2 ( faites un dessin SVP).

la relation AB²+AM.AN=0 devient:

AB²+(AI+IM).(AI+IN)=0
AB²+AI²+AI.(IM+IN)+IM.IN=0

comme AI=-AB/2  et IM+IN=0 et IM=-IN alors
AB²+AB²/4 -IM²=O

donc IM²=5AB²/4
donc ||IM||=(rc(5)/2)||AB||

donc M appartient au cercle de centre I et de rayon (rc(5)/2)||AB||

comme N et M jouent un role symétrique dans les deux relations de l'énoncé on a aussi:
||IN||=(rc(5)/2)||AB||

donc M et N appartiennent au cercle de centre I et de rayon (rc(5)/2)||AB||

voila
le tout était de faire intervenir le milieu de M et N et de ramrquer qu'il occupe une postion fixe par rapport à A et B.

mille excuses. on est dans l'espace et non dans le plan.

veuillez remplacer cercle par sphère.