Vecteurs Aléatoires

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Vecteurs Aléatoires 
Posté par 
flight  16-01-25 à 10:32
Bonjour 



je vous propose l'exercice suivant : 

On considère deux vecteurs aléatoires 

𝑢1 et 𝑢2 générés dans un plan cartésien, dont les coordonnées sont choisies aléatoirement. Les composantes de ces vecteurs sont des valeurs réelles comprises entre -4 et 4 



 L'objectif est de déterminer la probabilité qu'un triangle formé par l'origine du repère O(0,0) le point terminal de u1 et celui de 𝑢2 soit rectangle avec une certaine tolérance sur l'angle formé par les deux vecteurs , on considéra donc le traingle comme rectangle si l'angle 𝜃 est suffisamment proche de 90° de sorte ∣𝜃−90∘∣< 𝜀 .

Écrivez un algorithme permettant de simuler cette situation et de calculer la probabilité qu'un triangle rectangle soit formé avec une tolérance 𝜀=0.1°
 Posté par 
verdurinre : Vecteurs Aléatoires   16-01-25 à 18:46
Bonsoir flight.

Je trouve le problème intéressant. On peut remarquer que si on prend une probabilité uniforme sur le carré (surface) la probabilité d'avoir deux vecteurs presque orthogonaux est la même que si on prend les extrémités uniformément sur le bord du carré.

Je n'ai pas encore fait de simulation, mais c'est en y pensant que j'ai trouvé le résultat.

 Cliquez pour afficher
La probabilité cherchée est sin().
 Posté par 
verdurinre : Vecteurs Aléatoires   16-01-25 à 19:59
J'ai déliré 

 Cliquez pour afficher
La probabilité cherchée est :  

Si 45°, mais j'ai pensé que c'était le cas.
 Posté par 
candide2re : Vecteurs Aléatoires   16-01-25 à 20:03
Bonjour :



 Cliquez pour afficher
La simulation donne une proba de 0,0022



Evidemment l'angle quasi droit peut être en O mais aussi sur un des autres sommets.



import random
import math

cmpt = 0
for i in range (1,1000001):
  xa = 4*random.random()
  signe = random.random()
  if (signe > 0.5):
      xa = -xa
  ya = 4*random.random()
  signe = random.random()
  if (signe > 0.5):
      ya = -ya
  xb = 4*random.random()
  signe = random.random()
  if (signe > 0.5):
      xb = -xb
  yb = 4*random.random()
  signe = random.random()
  if (signe > 0.5):
      yb = -yb
  #print(xa,ya,xb,yb)    
  cosalpha = (xa*xb+ya*yb)/math.sqrt((xa*xa+ya*ya)*(xb*xb+yb*yb))
  if abs(cosalpha) < 0.001745328366:
     cmpt = cmpt+1
  cosbeta = ((xb-xa)*xb+(yb-ya)*yb)/math.sqrt(((xa-xb)*(xa-xb)+(ya-yb)*(ya-yb))*(xb*xb+yb*yb))
  if abs(cosbeta) < 0.001745328366:
     cmpt = cmpt+1
  cosgamma = ((xa-xb)*xa+(ya-yb)*ya)/math.sqrt(((xa-xb)*(xa-xb)+(ya-yb)*(ya-yb))*(xa*xa+ya*ya))
  if abs(cosgamma) < 0.001745328366:
     cmpt = cmpt+1
 # print(xa,ya,xb,yb)     
  #print(cosalpha,cosbeta,cosgamma)  
  #print(math.acos(cosalpha)*180/3.141592, math.acos(cosbeta)*180/3.141592,math.acos(cosgamma)*180/3.141592)
  angle = (math.acos(cosgamma) + math.acos(cosalpha) + math.acos(cosbeta))*180/3.141592 
 # print(angle)
print(cmpt/1000000)     
 Posté par 
verdurinre : Vecteurs Aléatoires   17-01-25 à 15:02
Salut candide2.

J'avais mal lu l'énoncé.
 Posté par 
candide2re : Vecteurs Aléatoires   17-01-25 à 17:06
salut verdurin.



 Posté par 
flightre : Vecteurs Aléatoires   17-01-25 à 17:17
Bonsoir candide2 , ce n'est pas faux mais ici on ne s'interesse uniquement au cas ou   (l'angle formé par les deux vecteurs aléatoires) fait approximativement 90° avec la tolérance de +- 0,1°
 Posté par 
verdurinre : Vecteurs Aléatoires   17-01-25 à 17:54
J'avais mal lu mais bien deviné la question.

Je propose une réponse sans simulation :

 Cliquez pour afficher
la probabilité pour que l'angle des deux vecteurs soit 90° à 0,1° près est environ 0,0009.
 Posté par 
candide2re : Vecteurs Aléatoires   17-01-25 à 19:24
Bonjour,



 Cliquez pour afficher
L'énoncé est ambigu.



Comment interpréter la phrase :



"L'objectif est de déterminer la probabilité qu'un triangle formé par l'origine du repère O(0,0) le point terminal de u1 et celui de 𝑢2 soit rectangle ?"


Cela ne limite pas l'emplacement de l'angle droit avec le sommet en  O.

Si on ne prend que cet angle, alors le programme devient :

import random
import math

cmpt = 0
for i in range (1,1000001):
  xa = 4*random.random()
  signe = random.random()
  if (signe > 0.5):
      xa = -xa
  ya = 4*random.random()
  signe = random.random()
  if (signe > 0.5):
      ya = -ya
  xb = 4*random.random()
  signe = random.random()
  if (signe > 0.5):
      xb = -xb
  yb = 4*random.random()
  signe = random.random()
  if (signe > 0.5):
      yb = -yb
  test = 0
  cosalpha = (xa*xb+ya*yb)/math.sqrt((xa*xa+ya*ya)*(xb*xb+yb*yb))
  if abs(cosalpha) < 0.001745328366:
      cmpt = cmpt + 1
print(cmpt/1000000) 




Et la moyenne du résultat trouvé est 0,00116 
 Posté par 
candide2re : Vecteurs Aléatoires   17-01-25 à 19:35
Rebonjour,

 Cliquez pour afficher


Possible que mon résultat soit 2 fois trop grand ...



Colle avec 90° +/- 0,1° mais peut-être aussi avec 270°+/- 0,1°



Si c'est le cas (il faut que j'y pense), alors la proba est 0,00058
 Posté par 
candide2re : Vecteurs Aléatoires   17-01-25 à 19:42
Réflexion rapide ...



Je confirme mon approche du 17-01-25 à 19:24

avec proba de 0,00116



Et sans programme de simulation, je calculerais ainsi :



Proba = 2 * 0,2/360 = 0,00111
  Posté par 
flightre : Vecteurs Aléatoires   17-01-25 à 20:53
je suis daccord , je trouve de mon coté :  0,001149