Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths sup
Partager :

vecteurs coplanaires

Posté par
sgu35
27-07-20 à 12:11

Bonjour,
je voudrais savoir si deux vecteurs quelconques sont automatiquement coplanaires.

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 12:13

deux vecteurs dans l'espace bien sûr

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 12:21

même question pour deux droites de l'espace

Posté par
Glapion Moderateur
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 12:22

Bonjour, oui deux vecteurs quelconques sont automatiquement coplanaires. (ils génèrent un plan d'ailleurs).

Et pour que 3 vecteurs soient coplanaires, il faut que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers.

Posté par
Glapion Moderateur
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 12:23

Citation :
même question pour deux droites de l'espace


ben non, pour qu'elles soient coplanaires, il faut aussi qu'elles se coupent.

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 12:26

sauf qu'un plan est défini par la donnée d'un point et de deux vecteurs indépendants

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 12:28

Citation :
Et pour que 3 vecteurs soient coplanaires, il faut que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers.

il faut et il suffit que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers?

Posté par
Glapion Moderateur
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 12:35

Oui tout à fait.

ça n'est pas incompatible. un vecteur c'est une classe d'équivalence, tous les vecteurs translatés représentent le même vecteur.
C'est la différence entre les espaces affines et les espaces vectoriels. en gros, un espace affine c'est un espace vectoriel plus un point.
Donc deux vecteurs génèrent un espace vectoriel de dimension 2 et un plan c'est un espace de dimension 2 plus un point.

Posté par
Glapion Moderateur
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 12:36

oui, il faut et il suffit.

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 12:39

merci!

Posté par
jeanseb
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 13:05

Bonjour

Glapion @ 27-07-2020 à 12:23

Citation :
même question pour deux droites de l'espace


ben non, pour qu'elles soient coplanaires, il faut aussi qu'elles se coupent.


... ou qu'elles soient parallèles.

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 13:06

oui

Posté par
Glapion Moderateur
re : vecteurs coplanaires 27-07-20 à 13:25

oui tu as raison jeanseb, ou qu'elles soient parallèles.

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 11:26

Si deux vecteurs sont coplanaires, ils génèrent un plan ou un espace vectoriel? Je croyais qu'un plan correspondait à la donnée d'un point plus deux droites parallèles ou qui se coupent.

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 11:43

Et qu'une des droites passe par ce point.

Posté par
jeanseb
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 11:51

Tu mélanges deux choses: les espaces vectoriels (composés de vecteurs) et les espaces affines (composés de points, mais avec deux points tu fabriques un représentant de vecteur).

Un vecteur non nul engendre une droite vectorielle, formée de tous les vecteurs multiples du premier. Une droite affine (la bonne vieille droite habituelle) est engendrée par un point et une droite vectorielle (c a d un point et un vecteur non nul).

Deux vecteurs non colinéaires engendrent un plan vectoriel formé de tous les vecteurs combinaisons linéaires des deux premiers. Un plan affine (le bon vieux plan habituel) est engendré par un point et un plan vectoriel.

Citation :
Je croyais qu'un plan correspondait à la donnée d'un point plus deux droites parallèles


Deux droites strictement parallèles (cad non confondues) (AB) et (CD) définissent un plan affine, car la donnée de ces deux droites définit le point A, et les vecteurs non colinéaires AB et AC. Si tu donnes un point D en plus des deux droites, il risque fort d'être extérieur au plan affine que tu as déja défini grace aux deux droites. Donc ta définition est inexacte.

Citation :
ou qui se coupent

Même problème. La donnée de deux droites sécantes définit directement un plan affine.

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 12:08

Quand tu parles de représentant de vecteur, il s'agit de vecteur colinéaire à un vecteur de départ ?

Posté par
jeanseb
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 12:47

Non. C'est un bipoint particulier, qui définit le vecteur.

Par exemple dans un parallélogramme ABCD, si tu définis u=AB, "le vecteur AB est un représentant du vecteur u". Un autre représentant du vecteur u est DC. En fait, un vecteur est une famille de représentants, tous parallèles, de même longueur et de même sens.

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 12:53

Ok j'ai compris

Posté par
jeanseb
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 13:03

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 13:03

Citation :
Un vecteur non nul engendre une droite vectorielle

Quand tu parles d'engendrer une droite vectorielle, quelle opération fait-on? Peut-être une homothétie?

Posté par
jeanseb
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 13:15

Oui. Un homothétie vectorielle.

si u est un vecteur non nul, la droite vectorielle engendrée est l'ensemble des vecteurs ku, où k est un réel quelconque. Cela correspond bien à une homothétie.

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 16:42

Merci, j'ai tout compris!

Posté par
lafol Moderateur
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 16:57

Bonjour

sgu35 @ 27-07-2020 à 12:28

Citation :
Et pour que 3 vecteurs soient coplanaires, il faut que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers.

il faut et il suffit que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers?


je n'aime pas cette notion de premier deuxième et troisième ... si on parle de trois vecteurs (a,2a,b), la phrase citée est fausse : ces trois vecteurs sont coplanaires même si a et b sont non colinéaires, donc même si b ne peut pas s'exprimer comme combinaison linéaire de a et 2a...

Donc non, il ne faut, pas, il suffit juste.

Il faut et suffit si on énonce ça sous la forme : un des vecteurs peut s'exprimer comme combinaison linéaire des deux autres (dans le cas cité, le deuxième s'exprime bien comme 2 . premier + 0. dernier)

Posté par
sgu35
re : vecteurs coplanaires 09-08-20 à 17:03

Très judicieux, merci.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1472 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !