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vecteurs coplanaires
Bonjour,
je voudrais savoir si deux vecteurs quelconques sont automatiquement coplanaires.
Bonjour, oui deux vecteurs quelconques sont automatiquement coplanaires. (ils génèrent un plan d'ailleurs).
Et pour que 3 vecteurs soient coplanaires, il faut que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers.
même question pour deux droites de l'espace
ben non, pour qu'elles soient coplanaires, il faut aussi qu'elles se coupent.
Et pour que 3 vecteurs soient coplanaires, il faut que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers.
il faut et il suffit que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers?
Oui tout à fait.
ça n'est pas incompatible. un vecteur c'est une classe d'équivalence, tous les vecteurs translatés représentent le même vecteur.
C'est la différence entre les espaces affines et les espaces vectoriels. en gros, un espace affine c'est un espace vectoriel plus un point.
Donc deux vecteurs génèrent un espace vectoriel de dimension 2 et un plan c'est un espace de dimension 2 plus un point.
Bonjour
même question pour deux droites de l'espace
ben non, pour qu'elles soient coplanaires, il faut aussi qu'elles se coupent.
... ou qu'elles soient parallèles.
Si deux vecteurs sont coplanaires, ils génèrent un plan ou un espace vectoriel? Je croyais qu'un plan correspondait à la donnée d'un point plus deux droites parallèles ou qui se coupent.
Tu mélanges deux choses: les espaces vectoriels (composés de vecteurs) et les espaces affines (composés de points, mais avec deux points tu fabriques un représentant de vecteur).
Un vecteur non nul engendre une droite vectorielle, formée de tous les vecteurs multiples du premier. Une droite affine (la bonne vieille droite habituelle) est engendrée par un point et une droite vectorielle (c a d un point et un vecteur non nul).
Deux vecteurs non colinéaires engendrent un plan vectoriel formé de tous les vecteurs combinaisons linéaires des deux premiers. Un plan affine (le bon vieux plan habituel) est engendré par un point et un plan vectoriel.
Je croyais qu'un plan correspondait à la donnée d'un point plus deux droites parallèles
Deux droites strictement parallèles (cad non confondues) (AB) et (CD) définissent un plan affine, car la donnée de ces deux droites définit le point A, et les vecteurs non colinéaires AB et AC. Si tu donnes un point D en plus des deux droites, il risque fort d'être extérieur au plan affine que tu as déja défini grace aux deux droites. Donc ta définition est inexacte.
ou qui se coupent
Même problème. La donnée de deux droites sécantes définit directement un plan affine.
Quand tu parles de représentant de vecteur, il s'agit de vecteur colinéaire à un vecteur de départ ?
Non. C'est un bipoint particulier, qui définit le vecteur.
Par exemple dans un parallélogramme ABCD, si tu définis u=AB, "le vecteur AB est un représentant du vecteur u". Un autre représentant du vecteur u est DC. En fait, un vecteur est une famille de représentants, tous parallèles, de même longueur et de même sens.
Un vecteur non nul engendre une droite vectorielle
Quand tu parles d'engendrer une droite vectorielle, quelle opération fait-on? Peut-être une homothétie?
Oui. Un homothétie vectorielle.
si u est un vecteur non nul, la droite vectorielle engendrée est l'ensemble des vecteurs ku, où k est un réel quelconque. Cela correspond bien à une homothétie.
Bonjour
Et pour que 3 vecteurs soient coplanaires, il faut que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers.
il faut et il suffit que le troisième s'exprime comme combinaison linéaire des deux premiers?
je n'aime pas cette notion de premier deuxième et troisième ... si on parle de trois vecteurs (a,2a,b), la phrase citée est fausse : ces trois vecteurs sont coplanaires même si a et b sont non colinéaires, donc même si b ne peut pas s'exprimer comme combinaison linéaire de a et 2a...
Donc non, il ne faut, pas, il suffit juste.
Il faut et suffit si on énonce ça sous la forme : un des vecteurs peut s'exprimer comme combinaison linéaire des deux autres (dans le cas cité, le deuxième s'exprime bien comme 2 . premier + 0. dernier)
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