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Vecteurs coplanaires
Bonjour,
Pour montrer que trois vecteurs sont coplanaires, il suffit de montrer que deux de ces vecteurs sont colinéaires.
Mais si les vecteurs ne sont pas colinéaires (deux à deux) est-ce que cela veut dire qu'ils ne sont pas coplanaires?
Bonjour,
Non, 3 vecteurs non nuls sont coplanaires si et seulement si l'un est combinaison linéaire des deux autres autrement dit qu'il existe deux réels
et
tels que
Je ne sais pas. Mais en tous cas, plus lente.
Et pour Kamichi, c'est un plus d'avoir deux réponses qui se complètent.
Je sais qu'il faut utiliser la combinaison linéaire, cette méthode je la connais. Mais pour aller plus vite, j'avais trouvé sur Google que pour montrer que 3 vecteurs sont coplanaires, il suffit de montrer que 2 vecteurs sont colinéaires. J'ai trouvé cette méthode plus rapide mais quand je voulais l'appliquer sur un exercice, j'ai trouvé avec cette méthode que les vecteurs n'étaient pas coplanaires et avec la méthode de la combinaison linéaire qu'ils étaient coplanaires, d'où ma question.
Ci-joint une capture d'écran de ce que j'ai trouvé sur Internet.
En tous les cas j'ai compris une chose: il ne faut pas chercher la facilité au risque de faire faux 
Merci à vous deux
Je sais qu'il faut utiliser la combinaison linéaire, cette méthode je la connais.
Et crois-moi : c'est la bonne méthode.
Sur le net, on trouve tout, du meilleur au pire.
En l'occurrence, je pense que ton lien est pourri.
Il est certain que si deux vecteurs non nuls sont colinéaires, ils définissent avec un troisième vecteur (non colinéaire avec eux) un plan vectoriel.
Mais, pour montrer que 3 vecteurs non nuls sont coplanaires, il n'y a pas 36 méthodes : c'est le "sinon" de ton lien pourri : une combinaison linéaire de deux d'entre eux donne le troisième (qui englobe les cas particuliers où 2 d'entre eux sont colinéaires).
@Kamichi,
J'ai trouvé puis copié ce que tu avais trouvé sur Internet.
Je le reproduis avec un mot important en rouge :
On cherche si deux vecteurs sont colinéaires parmi les 3. Pour cela, on regarde si leurs coordonnées sont proportionnelles. - S'il y a 2 vecteurs colinéaires alors les 3 vecteurs sont toujours coplanaires. - Sinon on cherche 2 nombres a et b tels que →w=a→u+b→v.
Pour se débarrasser des cas particuliers, on peut spécifier que les 3 vecteurs non nuls ne sont pas colinéaires 2 à 2.
Là, plus de problèmes avec les combinaisons linéaires de deux vecteurs pour obtenir le troisième.
Le reproche :
Détailler la situation de deux vecteurs colinéaires (en parlant de coordonnées proportionnelles) et survoler ce qu'il faut faire dans la situation la plus fréquente.
Parler de "nombre" alors qu'il s'agit de réels 
Conseil pour Kamichi :
Ne pas utiliser une méthode quand on ne comprend pas d'où elle vient.
Pour l'histoire des trois vecteurs coplanaires ou pas,
on regarde d'abord les cas où on voit facilement qu'ils le sont :
Si l'un des trois est nul, les trois vecteurs sont coplanaires.
Si deux d'entre eux sont colinéaires, les trois vecteurs sont coplanaires.
Sinon, on cherche à écrire l'un des trois comme combinaison linéaire des deux autres.
Si on y arrive, les trois vecteurs sont coplanaires.
Si on n'y arrive pas, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.
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