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Vecteurs coplanaires dans un tétraèdre
Bonjour ,
Merci d'avance.
ABCD est un tétraèdre et I, J ,K, L sont les points définis par :
,
,
,
1) Démontrer que :
2) Exprimer et
en fonction de
,
et
.
3) En déduire que les vecteurs ,
et
sont coplanaires.
Bonjour,
la 1 et la 2 c'est du pareil au même
on a bien dans la 1 "exprimé IJ en fonction de AB , AC et AD" non ?
et pour faire ça on utilise à tire larigot la relation de Chasles en décomposant "via les points A, B, C, D"
IJ = AJ - AI pour partir de A
AI = 1/3 AB par définition de I dans l'énoncé
AJ = .. une certaine combinaison de AC et AD qui vient au départ de AJ = AD + DJ et de DC = AC - AD (et de la définition de J)
etc
Oui ,
(En vecteurs)
IJ=AJ-AI
Or AI=1/3AB
D'où IJ=AJ-1/3AB
AJ=AD+DJ
DC=AC-AD donc AD=AC-DC
Alors IJ=-1/3AB+AC-DC+DJ
DJ=1/3DC
IJ=-1/3AB+AC-2/3DC
DC=DA+AC
Donc IJ=-1/3AB+AC-2/3AD-2/3AC
IJ=-1/3AB+1/3AC-2/3AD (en vecteurs)
oui
on pouvait aller un petit peu plus vite en évitant de tourner en rond
DC=AC-AD donc AD=AC-DC ça c'est inutile
on veut exprimer tout ça en fonction de AC et AD donc quand on a des "AD" on les garde tel quels ! on ne les remplace pas par plus compliqué !
et DJ = 1/3 DC = 1/3 (AC - AD) directement
donc AJ = AD + DJ = AD + 1/3 (AC - AD)
et il n'y a juste que à simplifier le tout parce que on a ce qu'on voulait : que des AB, AC et AD.
on fait pareil pour la question 2, deux fois.
2) IL=IA+AL
IA=-1/3 AB
IL=-1/3 AB+AL
AL=AK+KL et AK=3/4 AD
IL=-1/3 AB+3/4 AD +KL
KL=KA+AL
=KA+AC+CL
=-3/4 AD+AC+CL
=-3/4 AD+AC+CB+BL
=-3/4 AD+AC+CA+AB+3/4 BC
=-3/4 AD+3/4 BA+3/4 AC
KL=-3/4 AD -3/4AB +3/4 AC
D'où IL=-1/3 AB +3/4 AD -3/4 AD -3/4 AB +3/4 AC
IL=-13/12 AB +3/4 AC +0AD
IL et IK sont deux calculs séparés et indépendant
dans le calcul de IL en fonction de AB, AC et AD seulement, ne doit figurer aucun K à quelque endroit du calcul que ce soit, vu que I et L sont définis à partir des points A,B,C,D et de aucun autre (en particulier K n'a pas son mot à dire là dedans)
dans le calcul de IK en fonction de AB, AC et AD seulement, ne doit figurer aucun L à quelque endroit du calcul que ce soit, vu que I et K sont définis à partir des points A,B,C,D et de aucun autre (en particulier L n'a pas son mot à dire là dedans)
la question 2 c'est deux questions indépendates
2a) calculer IL en fonction de AB, AC, AD
2b) calculer IK en fonction de AB, AC, AD
faire comme tu fais rend la chose
• inutilement compliquée
• et donc incompréhensible, on se perd à tourner en rond sans voir où on va..
2) IL=IA+AL oui
IA=-1/3 AB oui
IL=-1/3 AB+AL oui
AL= et là tu t'égares complètement et à côté de la plaque en perdant tout le monde avec toi
comment est défini L ?
à partir du vecteur BC
donc on décompose AL via B : AL = AB + BL
et on remplace BL par sa définition directement recopiée de l'énoncé.
(et AB reste AB puisque c'est un des 3 objectifs AB, AC, AD)
etc
Ok ,
2) * IL=IA+AL
Or IA=-1/3 AB
Donc IL=-1/3 AB+AL
AL=AB+BL
D'où IL=-1/3AB+AB+ 3/4 BC
IL=2/3AB+3/4 BA+3/4 AC
IL=-1/12 AB+3/4 AC +0 AD
*IK=IA+AK
Or IA=-1/3 AB
D'où IK=-1/3 AB +AK
IK=-1/3 AB+3/4 AD+0 AC
Oui
c'est pas plus clair comme ça ? 
(et plus juste ! du coup, sans le risque accru d'erreurs quand on fait un calcul trop long)
Q3) ... comment ferais tu ça ? (définition ou propriétés de vecteurs coplanaires)
IJ=-1/3AB+1/3AC-2/3AD
IL=-1/12 AB+3/4 AC +0 AD
IK=-1/3 AB+3/4 AD+0 AC
IJ+IL+IK=-3/4 AB + 13/12 AC + 1/12AD donc l'unique triplet tel que les vecteurs IJ, IL et IK soient non coplanaires est différent de (0;0;0).
Alors les vecteurs IJ , IL et IK ne sont pas coplanaires.
????
ils seront coplanaires si il existe des coefficients a, b, c non nuls (aucun nul) tels que a IJ + b IK +c IL = 0 (en vecteurs)
il n'a jamais été dit que ces coefficients devaient valoir (1, 1, 1) !!!
qui est le seul "essai de valeurs" que tu as fait !
le problème est de les trouver .. ou de prouver que aucune valeur possible ne convient (et pas seulement (1,1,1))
pour les trouver, c'est des inconnues, donc des équations à résoudre.
on écrit, en vecteurs : a IJ + b IK + c IL = 0 avec les AB, AC AD, et on développe
et on écrit que le coefficient de AB est 0 :
-1/3 a -1/3 b -1/12 c = 0 (en nombres, c'est des coefficients)
et deux autres équations semblables
et il s'agit de (tenter de) résoudre ce système
ou des techniques plus élaborées avec des déterminants (hors cours à mon avis à ce niveau)
nota : pour info ils sont coplanaires, mais il ne suffit pas de l'affirmer il faut le prouver (en exhibant des valeurs de a,b,c qui donnent effectivement 0)
Ok
IJ=-1/3AB+1/3AC-2/3AD
IL=-1/12 AB+3/4 AC +0 AD
IK=-1/3 AB+3/4 AD+0 AC
aIJ+bIL+cIK=0
a(-1/3AB+1/3AC-2/3AD) + b(-1/12 AB+3/4 AC +0 AD) + c(-1/3 AB+3/4 AD+0 AC)=0
-1/3aAB+1/3aAC-2/3aAD -1/12bAB+3/4bAC +0aAD -1/3cAB+3/4cAD+0cAC=0
En posant -1/3 a -1/3 b -1/12 c = 0
Je n'arrive pas à résoudre cette équation.
Bonjour,
Je te conseille de reprendre ce calcul à partir de AJ = AD + DJ et de conserver AD en transformant seulement DJ.
IJ=-1/3 AB + AD+DJ
DJ=1/3DC
=1/3(DA+AC)
=1/3DA+1/3AC
IJ=-1/3 AB+1/3 AC-1/3 AD +AD
IJ= -1/3 AB +1/3 AC +2/3 AD
3)
IJ=-1/3 AB +1/3 AC +2/3 AD
IL=-1/12 AB+3/4 AC +0 AD
IK=-1/3 AB+3/4 AD+0 AC
aIJ+bIL+cIK=0
a(-1/3 AB +1/3 AC +2/3 AD) +b(-1/12 AB+3/4 AC +0 AD) +c (-1/3 AB+3/4 AD+0 AC)=0
-1/3a AB +1/3a AC+2/3a AD -1/12b AB +3/4b AC -1/3c AB +3/4c AD=0
En posant -1/3a -1/12b-1/3c=0
Comment résoudre cette équation équation ?
Il faudrait que tu regroupes les termes en AB, puis les termes en AC puis les termes en AD, et que tu écrives que les coefficients respectifs des vecteurs AB, AC et BC sont nuls.
Cela te donnera un système de trois équations à trois inconnues (a, b et c), à résoudre.
-1/3a AB +1/3a AC+2/3a AD -1/12b AB +3/4b AC -1/3c AB +3/4c AD=0
AB(-1/3a-1/12b-1/3c)+AC(1/3a+3/4b)+AD(2/3a+3/4c)=0
Le système à résoudre est donc :
{-1/3a-1/12b-1/3c=0
{1/3a+3/4b=0
{2/3a+3/4c=0
Mais je n'arrive pas à résoudre ce système...
Additionner membre à membre les deux premières équations élimine a , d'où une équation en b et c .
En éliminant a des deux dernières équations, tu obtiendras une seconde équation en b et c .
2/3 b - 1/3 c = 0 est juste, mais peut être simplifiée.
Maintenant, élimine a des deux dernières équations du système de trois équations.
Puis essaie d'aller jusqu'au bout de la résolution de ce système . . . .
Je crois qu'il serait plus simple de faire comme suit.
Les trois équations du système à résoudre (15h40) étant numérotées (1), (2) et (3) :
--- déduire de (2) l'expression de c en fonction de a ;
--- déduire de (3) l'expression de b en fonction de a ;
--- porter ces expressions de c et de b dans la relation vectorielle aIJ + bIK + cIL = 0 ;
--- simplifier par a .
2/3b-1/3c=0
Équivaut à 1/3(2b-c)=0
D'où le système à résoudre est :
{1/3(2b-c)=0
{2/3a+3/4c=0
Comment éliminer a des deux équations , vue qu'il est seul dans ce système ?
{-1/3a-1/12b-1/3c=0 (1)
{1/3a+3/4b=0 (2)
{2/3a+3/4c=0 (3)
(2): 1/3a+3/4b=0
Donc 3/4b=-1/3a
b=(-1/3a)/(3/4)
b=-4/9a est l'expression de B en fonction de a.
(3): 2/3a+3/4c=0
3/4c=-2/3a
c=(-2/3a)/(3/4)
c=-8/9a
Alors aIJ + bIK +cIL=0
Équivaut à
aIJ -4/9aIK -8/9aIL=0
On simplifie par a :
IJ-4/9IK -8/9IL=0
Alors les valeurs des nombres a , b et c tels que les vecteurs IJ, IK et IL soient coplanaires sont :
a=1
b=-4/9
c=-8/9
D'où les vecteurs IJ , IK et IL sont coplanaires.
Merci
Ton résultat peut s'écrire 9IJ - 4IK - 8IL = 0 .
A première vue, c'est bon.
Toutefois, je trouve 9IJ - 8IK - 4IL = 0 . . . .
Attention !!
Il doit y avoir un pb
Dans le système résolu le 12/07 à 19h51 ,
(1): -1/3a-1/12b-1/3c=0
Devrait servir de vérification ,
Avec les résultats trouvés , -1/3a-1/12×(4/9)a-1/3×(-8/9)a=-1/3+1/27+8/29≠0
D'où le pb ... non ?
Cela vient peut-être de ce que je viens de remarquer : tu as changé l'ordre des vecteurs IJ, IK, IL .
Je lis en effet
le 11-7 à 23h40 : aIJ + bIK + cIL = 0 , et
le 12-7 à 10h21 : aIJ + bIL + cIK = 0 .
Bonjour matheux14,
Quelques remarques sur le système
{-(1/3)a -(1/12)b - (1/3)c = 0
{(1/3)a + (3/4)b = 0
{(2/3)a + (3/4)c = 0
(0,0,0) est une solution ; mais justement on en veut une autre.
Si (x,y,z) est une solution alors (kx,ky,kz) avec k réel quelconque aussi.
La première équation se simplifie si on la multiplie par exemple par -12 :
4a + b + 4c = 0.
Les 2 dernières équations sont équivalentes à
b = -(4/9)a et c = -(8/9)a.
La 1ère équation est vérifiée quand on remplace b par -(4/9)a et c par -(8/9)a.
On peut donc choisir a = 9. Il vient b = -4 et c = -8 .
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