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Vecteurs dans un triangle
Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant:
Soit le triangle ABC, H son orthocentre, G son centre de gravité et O le centre du cercle circonscrit.
Le point H est caractérisé par l'égalité : vecteur OH = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC.
Le point G par l'égalité : vecteur GA + vecteur GB + vecteur GC = vecteur 0 (c'est un zéro).
1/ Soit M, un point quelconque du plan. Montrer que vecteur MA + vecteur MB + vecteur MC = 3 vecteurs MG.
2/ Montrer que vecteur OH = 3 vecteurs OG.
3/ En déduire que les points O,H et G sont alignés.
4/ Dans quel cas a-t-on O=G ? Montrer qu'alors les points O, G et H sont confondus.
5/ Conclure
Merci !
Le problème est que je n'ai aucune leçon sur laquelle me baser, et que je ne trouve pas les informations nécessaires...
Vous connaissez quand même la relation de Chasles.
Décomposez en faisant intervenir le point M
En écrivant cela, on fait intervenir le point T
Bonjour ArenaSagitta,
Le problème est que je n'ai aucune leçon sur laquelle me baser, ...
tu pourrais aller faire un tour ici --->
Vecteurs
Bonjour hekla, je ne fais que passer
Surprenant que dans un cours sur les vecteurs, vous n'ayez pas entendu parler de la relation de Chasles
En vecteurs oui, faites la somme et dites que c'est le vecteur nul.
Bonjour Tilk_11
OH = OA+OB+OC
donc:
OH = OG+GA + OG+GB + OG+GC
OH = 3OG + GA+GB+GC
sauf que GA+GB+GC = 0
donc :
OH = 3OG ?
J'ai pu répondre à la 3/, mais je ne sais pas comment trouver et démontrer une réponse à la question 4/...
Il me semble que O=H si ABC est équilatéral, donc si ses hauteurs et médianes sont confondues et donc que son centre de gravité et son orthocentre sont confondus, mais je ne sais pas comment justifier que le centre du cercle circonscrit O l'est aussi...
O=G les médianes et médiatrices sont concourantes au même point par conséquent elles sont confondues et par suite seulement si le triangle est équilatéral
Si O=G alors et comme question 2
J'ai réussi à rédiger la 4ème réponse, mais je ne vois pas quelle conclusion je peux tirer pour la question 5...
Dans un triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont alignés
La droite est appelée droite d'Euler du triangle
N'est-ce pas ce que vous avez montré ? On pourrait préciser non équilatéral, car dans ce cas les trois points sont confondus et l'alignement est difficile.
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