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vecteurs, droites et plans de l'espace

Posté par
Nelcar 05-01-21 à 09:53

Bonjour,
Je vais mettre plusieurs exercices car là je suis en différentiel, le prof donne plein d'exercices mais sans explications je suis perdue, je n'étais déjà pas bonne en géométrie alors là....

voici le premier :
dans l'espace rapporté à un repère (O ;;;), on donne les points :
A(1;2;3), B(3;0;1) C(-1;0;1)D(2;1;-1),E(-1;-2;3) et F (-1;-6;-3).
1) Calculer les coordonnées des vecteurs AB (flèche au-dessus) et AC (flèche au-dessus). Les points A, B et C sont-ils alignés ?
2) déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB) et (CD)
3) les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?

Voici ce que j'ai fait en m'aidant de mon livre
1) Vecteur AB (flèche au-dessus) j'ai (2;-2;-2) et pour AC(flèche au-dessus) j'ai(-2;-2;-2)
je pense que les points ne sont pas alignés car je n'arrive pas à trouver une égalité
2) la droite (AB) passe par le point A(1;2;3) et elle a pour vecteur directeur AB(2;-2;-2)une représentation paramétrique de (AB) donc
une grande accolade
x=xa+txab
y=ya+tyab
z=za+tyab
avec t
grande occolade
x=1+2t   avec t
y=2-2t
z=3-2t
la droite (CD) passe par le point C (-1;0;1) et elle a pour vecteur directeur CD (3;1;-2)
une représentation parammètrique de (CD) est donc
x=xc+kxcd
y=yc+kycd
z=zc+kzcd
avec k soit
x=-1+3k avec k
y=0+k
z=1-2k (je ne sais pas lorsque c'est négatif si on met quand même avec k

je ne comprends pas à quoi ça sert de déterminer une représentation pramétrique

3) les droites (AB) et (CD) sont sécantes si elles ont un point d'intersection si, et seulement si, il existe un couple
(t, k) de réel solution du système  grande accolade    
1+2t=-2+3k
2-2t=0+k
3-2t=1-2k
équivaut à
2t-3k=-2
-2t-k=-2
-2t+2k=-2
et là je trouve k=0 et t=1/2
et en vérifiant ça ne marche pas et je n'arrive pas à retrouver mon erreur
ou alors c'est tout simplement qu'elles ne sont pas sécantes ?
Je ne sais pas

MERCI

Posté par
lyceenre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 10:45

Bonjour,

Pour la première question, \vec{AB} et \vec{AC} doivent être colinéaires pour montrer que A, B et C soient alignés.

Cela signifie qu'il y aurait un réel k non nul tel que \vec{AB} = k \vec{AC}.

Cela sous-entend que :
x_{AB} = k x_{AC}
y_{AB} = k y_{AC}
z_{AB} = k z_{AC}

On voit la contradiction : k=-1 pour la première ligne et k=1 pour la deuxième. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, impliquant que les points ne sont pas alignés.

Les équations des droits paramétrées sont bonnes.

Concernant ta question sur k \in \mathbb{R}, c'est toujours le cas quel que soit le signe.

La représentation paramétrique est plus "simple" que de calculer l'équation de droite en fonction de x, y et z. Cette représentation donne immédiatement un vecteur directeur de la droite.


Troisième question : tu poses très bien le système à résoudre.

Cependant tu marques 1+2t=-2+3k puis 2t-3k=-2

Je pense qu'il y a une petite erreur

Posté par
Nelcarre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 11:04

Bonjour Lyceen

Je reprend cet exercice, en effet après des recherches sur internet , j'ai vu que si les point ne sont pas colinéaires donc ils ne sont pas alignés. J'ai vu aussi que pour être aligné il faut un "k".
DONC pour la question 1 on est bien d'accord qu'ici ils ne sont pas alignés
donc si j'ai bien compris la question 2 est bonne. Comment fait-on pour calculer l'équation de droite en fonction de x, y et z  ? pour savoir
troisième question :
les droites (AB) et (CD) sont sécantes si elles ont un point d'intersection si, et seulement si, il existe un couple
(t, k) de réel solution du système  grande accolade    
1+2t=-1+3k
2-2t=0+k
3-2t=1-2k
équivaut à
2t-3k=-2
-2t-k=-2
-2t+2k=-2
et là je trouve k=0 et t=1/2
et en vérifiant ça ne marche pas et je n'arrive pas à retrouver mon erreur
ou alors c'est tout simplement qu'elles ne sont pas sécantes ?

ce n'est pas -2 mais -1 j'ai fait une erreur en tapant pour le reste il n'y a pas de changement.
et là je ne sais pas comment faire la suite

MERCI

Posté par
pgeodre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 11:41

Si le système à résoudre n'a pas de solution (ce qui semble être le cas ici),
on en conclut simplement que les droites ne sont pas concourantes.

Posté par
Nelcarre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 11:48

Re,
ok merci
je vais mettre un autre exercice

MERCI

Posté par
pgeodre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 11:49

Posté par
PLSVUre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 13:20

Nelcar

Citation :
Comment fait-on pour calculer l'équation de droite en fonction de x, y et z  ?


Posté par
Nelcarre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 14:15

Re,
oui PLSVU j'avais posé cette question car apparemment on fait la représentation paramétrique pour éviter de calculer l'équation mais je ne sais pas comment on calcule l'équation

MERCI

Posté par
lyceenre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 14:31

Nelcar @ 05-01-2021 à 11:04

Bonjour Lyceen

Comment fait-on pour calculer l'équation de droite en fonction de x, y et z  ? pour savoir


Je vais te montrer.

Quelle est l'équation de la droite (AB), connaissant les coordonnées des points A(1;2;3) et B(3;0;1) ?

L'équation est de la forme ax+by+cz=d, sachant que a, b, c et d sont des réels que nous allons déterminer.

Pour commencer, je calcule le vecteur \vec{AB}, ce que tu as fait : \vec{AB}=(2;-2; -2).

Soit un point M(x; y; z) \in (AB), alors le produit vectoriel est nul :

\vec{AB} \wedge \vec{AM} = \vec{o}

\vec{AB} \wedge \vec{AM} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \\ z-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

\vec{AB} \wedge \vec{AM} = \begin{pmatrix} 2(y-2)+2(x-1) \\ -2(z-3)+2(y-2) \\ -2(x-1)-2(z-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Cela donne donc un système de  trois équations :

\left\{\begin{array}{ccc} x+y &=& 3 \\ y-z &=& -1\\ x+z &=& 4 \end{array}

Il ne reste plus qu'à additionner deux lignes pour faire apparaître l'équation. Je prends les deux premières :

x+2y-z=2

En combinant la première et la troisième on obtient une autre équation :

2x+y+z=7


Ce système de deux équations détermine donc la droite en question.

\left\{\begin{array}{ccc} x+2y-z=2 \\ 2x+y+z=7 \end{array}

Posté par
Nelcarre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 15:23

Re,
OK lyceeen

mais après avoir ce système que faut-il faire d'autre

MERCI

Posté par
lyceenre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 15:28

Tu parles de ce système d'équation ?

\left\{\begin{array}{ccc} x+2y-z &=& 2 \\ 2x+y+z &=& 7 \end{array}

Quand tu appliques les coordonnées des points A et B, que remarques-tu ?

Posté par
Nelcarre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 16:06

re,
là je suis perdue complètement.
et je ne comprends pas il y a un endroit tu as mis +2 et je pense que c'est -2 mais..... pas sûr
et lorsque tu mets
2(y-2)...
-2(z-3)....
-2(x-1)....
pourquoi ce n'est pas x, y z

enfin je ne pige pas.

MERCI

Posté par
lyceenre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 17:07

Question : as-tu vu le produit vectoriel en cours ?

Si c'est non, autant abandonner cette explication.

Si c'est oui, je t'invite à réviser comment le calculer.

Posté par
Nelcarre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 17:26

Re,

non nous n'avons pas vu le produit vectoriel pour l'instant

donc on arrêt là c'est ça.

MERCI ENCORE

Posté par
lyceenre : vecteurs, droites et plans de l'espace 05-01-21 à 17:39

De rien


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