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Vecteurs et Barycentres dans l espace
BONJOUR !! 
Voici un petit cadeau de vacances de notre prof de maths, au cas où nous aurions peur de nous tourner les pouces ...
On met un repère ( O ; i ; j ; k ) a l'espace. ( repère orthonormal bien sûr ! )
coordonées :
A(-1;0;1) B(1;4;-1) C(3;-4;-3) S(4;0;4)
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A
2) Montrer que le vecteur SO est orthogonal aux vecteurs AB et AC
3) En deduire une equation cartesienne du plan (ABC)
4) Démontrer que O est le barycentre des points A, B et C affectés de coefficients qu l'on determinera
5) En deduire que O est situé à l'intérieur du triangle ABC
6) Calculer le volume du tétraedre !
Donc ! J'ai reussi les questions 1 à 4, et la 6.
mon equation du plan : (P) : x + z = 0
mon volume du tetraedre : V = 32
Mon probleme se situe donc sur les questions 4 et 5, c'est le genre de truc qu'on a sur le bout de la plume mais qui sort pas ... et qui me paraitra evident quand je verrais la reponse ! Pour la question 5 j'imagine qu'on trouvera des corfficients positifs pour O, donc on pourra dire que O est dans ABC ... je suppose !
Merci de m'aider 
bonjour ,
je vais te donner des indications pour que tu puisses y arriver tout seul
4)
tu cherches à démontrer que O est barycentre de A; B et C affectés de coefficients que tu ne connais pas.
premier point qui doit te permmettre de facilité le problème, traduire ce qu'on te demande :
tu cherches 3 réels, qu'on va noter a, b et c de sorte que:
si tu arrives à trouver ces 3 réels a, b et c
il te faudra vérifier que a+b+c 0
et dans ce cas seulement, tu pourras dire que O est barycentre de (A;a)(B;b) et (C;c)
mais avant tout il faut essayer de trouver ces 3 réels a, b et c
pour cela tu connais les coordonnées des 3 vecteurs
cela devrait te mettre sur la voie.
Pour la question 5 j'imagine qu'on trouvera des corfficients positifs pour O, donc on pourra dire que O est dans ABC ... je suppose
ta supposition est correct 
par contre, je n'ai pas vérifier si ton résultat sur le volume est correct, mais l'équation de ton plan est juste
Hmmm ...
Effectivement je n'avais pas pensé à calculer les coordonées des 3 vecteurs.
Mais une fois fait, je ne me sens pas plus avancé ...
AH ben je viens de trouver !
J'écris a*xOA + b*xOB + c*xOC = 0
et de même pour les y et z, ainsi j'obtiens un système de 3 équations à trois inconnus
comme c'est un barycentre, on a pas besoin de valeurs fixes, juste des proportionalités !
Et j'obtiens donc :
a = 4b
b = c
donc OA + 4OB + 4OC = 0
O barycentre de (A,1)(B,4)(C,4) !!!
tatsaaammmm !!
( c'est juste ?? )
merci
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