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Vecteurs et bases

Posté par
Leoniedeville
22-12-20 à 18:29

Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour l'exercice suivant:
Dans une base (i,j,k) de l'espace, nous avons les vecteurs u(1;-3;5) , v(4;2;1) et w (0;2;-1)

1) Démontrer que les u et v forment une base d'un plan
2) Démontrer que les vecteurs u, v et w forment une base de l'espace


Mes réponses :

1) Ici il faut montrer que les u et v ne sont pas colinéaires.
Il est possible de déterminer les inéquations de k suivantes : •1=k*4
•-3=k*2
•5=k*1

On a donc 3 valeurs différentes de k : 1/4, -3/2 et 5.
En conséquence u et v forment une base d'un plan car les vecteurs concernés ne sont pas colinéaires.

2) Ici il faut montrer que au + bv + cw =0

Je détermine les inéquations suivantes :
•a+4b=0 pour au
•-3a+2b+2c=0 pour bv
•5a + b - c =0 pour cw

Mais là je suis coincé... Je ne sais pas comment déterminer les valeurs de a, b et c.... Merci beaucoup si vous pouvez m'aidez.

Bonne soirée

Posté par
dirac
re : Vecteurs et bases 22-12-20 à 18:57

Hello

Tu as constitué un système de 3 équations à 3 inconnues (a,b,c) tu peux peut être essayer de le résoudre en combinant ces équations pour te ramener à un système de 2 équations à 2 inconnues? Disons a et b en posant à partir de la 3eme équation c = 5a+b ?

Posté par
Leoniedeville
re : Vecteurs et bases 22-12-20 à 23:06

Bonsoir merci  pour votre réponse.
Donc si c= 5a+b, alors on a a + 4b =0
mais aussi -3a + 2b +2 (5a + b) =  0, ce qui nous donne 7a +4b=0

Donc on a : • a + 4b =0
• 7a + 4b =0

Donc a = -4b
Alors 7*(-4b)+4b =0
Donc-24b =0....

Après je peux faire quoi avec ces informations ? Merci pour votre aide.

Posté par
dirac
re : Vecteurs et bases 22-12-20 à 23:10

Donc si 24b = 0 combien vaut b?

Posté par
Leoniedeville
re : Vecteurs et bases 23-12-20 à 11:09

0? Mais on fait après avoir fait ceci ? Plutôt on en déduit quoi ? Merci pour votre aide

Posté par
malou Webmaster
re : Vecteurs et bases 23-12-20 à 11:14

Bonjour à vous deux, et je rends la main à dirac

je corrige un peu la formulation donnée plus haut qui ne veut rien dire

Citation :
2) Ici il faut montrer que au + bv + cw =0


non...
tu dois montrer que toute relation du type au + bv + cw =0 implique obligatoirement que a=b=c=0

et là tu vas peut-être savoir quoi faire maintenant

Posté par
Leoniedeville
re : Vecteurs et bases 23-12-20 à 12:09

Ah d'accord !  Merci beaucoup pour votre aide.

Donc b=0
-On sait que a + 4b =0
Donc a + 4*0 =0
Alors a = 0

-On sait que c = 5a + b
Donc c = 5*0+0
Alors c=0

-Pour conclure, on a a=b=c=0 pour toute relation au + bv + cw =0
-Les vecteurs u, v et w forment une base de l'espace

C'est bon ?

Posté par
malou Webmaster
re : Vecteurs et bases 23-12-20 à 12:55

ben voilà
ça va tout de suite mieux quand on connait la phrase entière

Posté par
dirac
re : Vecteurs et bases 23-12-20 à 12:55

C'est bon!

Tu as compris le pourquoi du a=b=c=0 remontre que les 3 vecteurs forment une base de l'espace?

Posté par
dirac
re : Vecteurs et bases 23-12-20 à 12:56

démontre ... pas remontre ... fatigué ... vivement Noël

Posté par
Leoniedeville
re : Vecteurs et bases 23-12-20 à 13:08

Bonjour, merci en tout cas pour votre aide .
Joyeux Noël en avance et bonne journée



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