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Vecteurs et repérage dans l'espace

Posté par
jobros
27-04-11 à 20:17

Bonjour,
J'ai un exercice que je dois faire mais je n'y arrive vraiment pas, c'est pourquoi je vous demande votre aide.

Dans un repère orthonormal (O;i;j;k), on considère les points:
A(-2;3;5) B(1;-1;0) et C(0;2;-4).
K est le barycentre de (A;-1), (B;2) ; L est le barycentre de (B;2) , (C;4) ; et M est le barycentre de (C;4), (A;-1).
Prouvez que les droites (CK), (AL) et (BM) sont concourantes.

J'ai pensé à prendre G le barycentre de A, B et C et puis utiliser le théorème d'associativité mais je n'utilisais pas les coordonnées des points.
Donc j'ai calculé les coordonnées de chaque barycentre en essayant de faire 2 systèmes mais en vain, je ne trouvais pas les droites concourantes.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Elisabeth67
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 27-04-11 à 23:02

Bonsoir

On pose G barycentre de (A;-1), (B;2) et (C;4)

Donc G barycentre de (K;1) et (C;4)  ( en considérant K comme barycentre de (A;-1), (B;2) ) , donc G (KC)

     G barycentre de  (A;-1)et (L;6) (en considérant L comme barycentre de (B;2) , (C;4) ) , donc G (AL)

      G barycentre de  (B;2) et (M;3) (en considérant M comme barycentre de (C;4), (A;-1) ), donc G (BM)


Ainsi , on a montré que les 3 droites sont concourantes en G

Posté par
jobros
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 27-04-11 à 23:13

Bonsoir
Merci pour votre réponse.
J'ai pensé à cette méthode mais du coup on n'utilise pas les coordonnées et je pense qu'il faut les utilisercar on nous les a données!
Merci d'avance.

Posté par
Elisabeth67
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 27-04-11 à 23:15

Le problème se limite à cette question ?

Posté par
jobros
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 27-04-11 à 23:17

Oui, je suis sensée prendre toutes les initiatives.

Posté par
Elisabeth67
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 27-04-11 à 23:24

On peut se contenter de le faire ainsi ; bien sûr , on pourrait contrôler avec les coordonnées

On aura   xG = 1/5(-xA +2xB +4xC)= 1/5 (2 + 2 + 0) = 4/5
          yG = 1/5(-yA +2yB +4yC)=
          zG = 1/5(-zA +2zB +4zC)=

puis vérifier que ce point appartient aux 3 droites , mais ça semble bien long ( il faudra déterminer les équations paramétriques des droites (CK), (AL) et (BM))

Posté par
jobros
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 27-04-11 à 23:58

Merci beaucoup pour votre réponse.
Pourriez-vous m'éclairer un peu plus sur la manière de démontrer comment G appartient à chacune de ces droites s'il vous plait.
Merci d'avance.

Posté par
Elisabeth67
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 28-04-11 à 14:07

On calcule les coordonnées complètes de G ( post de 23:24 ) et on trouve G( 4/5 ; 3/5; -21/5 )

Pour montrer que G (CK) , on détermine l'équation paramétrique de (CK)

Il faut pour commencer calculer les coordonnées de K barycentre de (A;-1), (B;2) ; on trouve K (4 ;-5;-5)

Ensuite on détermine les coordonnées du vecteur \vec{CK} ; on trouve \vec{CK} (4;-7;-1)

Puis on dit que si un point M (CK) , alors \vec{CM}=k\vec{CK}

d'où  l'équation paramétrique x = 4k
                                           y = -7k+2
                                           z = -k-4

Pour vérifier que G appartient à cette droite , on cherche la valeur de k pour xG (ici , on voit que k doit être égal à 1/5) , puis on vérifie qu'en remplaçant dans l'équation paramétrique k par 1/5 , on obtient yG et zG

Puis mêmes calculs pour les 2 autres droites ....

Posté par
jobros
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 28-04-11 à 20:49

Merci de votre réponse.
Existe-t-il un autre moyen de déterminer la valeur de k?
Après avoir remplacé pour chacune des droites, qu'est-ce qui nousmontre que G est le point d'intersection?
Merci d'avance.

Posté par
Elisabeth67
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 28-04-11 à 21:48

Si un même point appartient à 2 droites à la fois , c'est qu'il est l'intersection de ces 2 droites .

Posté par
jobros
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 28-04-11 à 22:10

D'accord, seulement , ici , 3 droites sont concourantes.
De plus, existe-t-il un autre moyen de calculer k? Comme avec un système avec les 3 droites?
Merci d'avance.

Posté par
Elisabeth67
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 28-04-11 à 22:22

Pour 3 droites , ou pour n droites , si on parvient à montrer qu'un même point appartient à chacune d'elles , c'est qu'il se trouve à l'intersection .

On pourrait chercher également la représentation paramétrique de chacune des droites ( là on utiliserait k , k' et k") , puis on chercherait le point commun entre la 1ère et la 2ème droite , ce qui donnerait un système du type

x = 4k     =  ak'+b
y = -7k+2  =  ck'+d
z = -k-4   =  ek'+f

Ainsi , on obtiendrait les coordonnées de l'intersection entre (CK) et la 2ème droite choisie , puis on vérifierait que ce point se trouve aussi sur la 3ème droite

Posté par
jobros
re : Vecteurs et repérage dans l'espace 28-04-11 à 22:46

Merci beaucoup de m'avoir consacré du temps, vous m'avez beaucoup aidé, grâce à vous j'ai bien compris et je peux donc finir mon exercice.



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