Bonjour,
J'ai un exercice que je dois faire mais je n'y arrive vraiment pas, c'est pourquoi je vous demande votre aide.
Dans un repère orthonormal (O;i;j;k), on considère les points:
A(-2;3;5) B(1;-1;0) et C(0;2;-4).
K est le barycentre de (A;-1), (B;2) ; L est le barycentre de (B;2) , (C;4) ; et M est le barycentre de (C;4), (A;-1).
Prouvez que les droites (CK), (AL) et (BM) sont concourantes.
J'ai pensé à prendre G le barycentre de A, B et C et puis utiliser le théorème d'associativité mais je n'utilisais pas les coordonnées des points.
Donc j'ai calculé les coordonnées de chaque barycentre en essayant de faire 2 systèmes mais en vain, je ne trouvais pas les droites concourantes.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonsoir
On pose G barycentre de (A;-1), (B;2) et (C;4)
Donc G barycentre de (K;1) et (C;4) ( en considérant K comme barycentre de (A;-1), (B;2) ) , donc G (KC)
G barycentre de (A;-1)et (L;6) (en considérant L comme barycentre de (B;2) , (C;4) ) , donc G (AL)
G barycentre de (B;2) et (M;3) (en considérant M comme barycentre de (C;4), (A;-1) ), donc G (BM)
Ainsi , on a montré que les 3 droites sont concourantes en G
Bonsoir
Merci pour votre réponse.
J'ai pensé à cette méthode mais du coup on n'utilise pas les coordonnées et je pense qu'il faut les utilisercar on nous les a données!
Merci d'avance.
On peut se contenter de le faire ainsi ; bien sûr , on pourrait contrôler avec les coordonnées
On aura xG = 1/5(-xA +2xB +4xC)= 1/5 (2 + 2 + 0) = 4/5
yG = 1/5(-yA +2yB +4yC)=
zG = 1/5(-zA +2zB +4zC)=
puis vérifier que ce point appartient aux 3 droites , mais ça semble bien long ( il faudra déterminer les équations paramétriques des droites (CK), (AL) et (BM))
Merci beaucoup pour votre réponse.
Pourriez-vous m'éclairer un peu plus sur la manière de démontrer comment G appartient à chacune de ces droites s'il vous plait.
Merci d'avance.
On calcule les coordonnées complètes de G ( post de 23:24 ) et on trouve G( 4/5 ; 3/5; -21/5 )
Pour montrer que G (CK) , on détermine l'équation paramétrique de (CK)
Il faut pour commencer calculer les coordonnées de K barycentre de (A;-1), (B;2) ; on trouve K (4 ;-5;-5)
Ensuite on détermine les coordonnées du vecteur ; on trouve (4;-7;-1)
Puis on dit que si un point M (CK) , alors
d'où l'équation paramétrique x = 4k
y = -7k+2
z = -k-4
Pour vérifier que G appartient à cette droite , on cherche la valeur de k pour xG (ici , on voit que k doit être égal à 1/5) , puis on vérifie qu'en remplaçant dans l'équation paramétrique k par 1/5 , on obtient yG et zG
Puis mêmes calculs pour les 2 autres droites ....
Merci de votre réponse.
Existe-t-il un autre moyen de déterminer la valeur de k?
Après avoir remplacé pour chacune des droites, qu'est-ce qui nousmontre que G est le point d'intersection?
Merci d'avance.
Si un même point appartient à 2 droites à la fois , c'est qu'il est l'intersection de ces 2 droites .
D'accord, seulement , ici , 3 droites sont concourantes.
De plus, existe-t-il un autre moyen de calculer k? Comme avec un système avec les 3 droites?
Merci d'avance.
Pour 3 droites , ou pour n droites , si on parvient à montrer qu'un même point appartient à chacune d'elles , c'est qu'il se trouve à l'intersection .
On pourrait chercher également la représentation paramétrique de chacune des droites ( là on utiliserait k , k' et k") , puis on chercherait le point commun entre la 1ère et la 2ème droite , ce qui donnerait un système du type
x = 4k = ak'+b
y = -7k+2 = ck'+d
z = -k-4 = ek'+f
Ainsi , on obtiendrait les coordonnées de l'intersection entre (CK) et la 2ème droite choisie , puis on vérifierait que ce point se trouve aussi sur la 3ème droite
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