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Vecteurs et Trapèze - je suis perdu - svp merci pour votre aide
Bonsoir à tous,
cela fait un bon moment que j'essaie de résoudre ce problème, et
je tourne en rond sans avancer :
ABCD est un trapèze convexe tel que vecDC = 10/3 vecAB
(vec = vecteur)
a) placer les points I et J de la droite AD tels que
vecIA = -4/3vecID,
et vecJA = 1/3vecJD.
en décomposant le vecIA à l'aide de Chasles, j'ai trouvé au
final qu'il était = à 4/7vecDA
idem pour vec JA, pour lequel j'ai trouvé qu'il était = à 1/2
vecAD.
Je pense que cela doit être ça puisque la figure que j'ai réalisée
a l'air bonne par rapport à la suite de l'énoncé.
Après, ça se corse :
b) la parallèle menée par I aux bases coupe les diagonales BD et AC
respectivement en H et K, et le côté BC en N.
Démontrer que vecIH = vecKN.
Je sèche complètement, même par Chasles, je n'arrive pas à trouver
de relation entre ces deux vecteurs.
c) Soit 0 le point d'intersection des diagonales. La droite OJ
coupe les bases AB et CD respectivement en L et M.
Démontrer que vecDM = 3vecAL.
Pareil, je n'arrive à rien.
Je vous serais vraiment reconnaissant si vous pouviez m'aider à
avancer dans cet exo qui me pose problème.
A tous, merci d'avance.
b.
Thalès : |DI|/|DA| = |CN|/|CB|
Les triangles CAB et CKN sont semblables -> |KN|/|AB| = |CN|/|CB|
Les triangles ABD et IHD sont semblables -> |DI|/|DA| = |IH|/|AB|
Des 3 lignes précédentes -> |KN|/|AB| = |IH|/|AB|
|KN| = |IH|
Comme I, H, K, et N sont alignés dans cet ordre et que |KN| = |IH|, on
a vect(KN) = vect(IH)
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c.
Une manière de faire (pas la seule possible).
Dans le repère(A ; AB ; AD)
On a
A(0 ; 0)
B(1 ; 0)
D(0 ; 1)
C(1 ; 10/3)
J(0 ; -1/2)
On écrit l'équation des droites (DB) et (AC)
On résout le système donné par ces 2 équations. -> on trouve les coordonnées
de O
On écrit l'équation de la droite (OJ)
On trouve les coordonnées de M rencontre de (OJ) et de la droite (DC)
d'équation y = 1.
On trouve les coordonnées de L rencontre de (OJ) et de la droite (AB)
d'équation y = 0.
On calcule |AB| et |DM|, on a aussi (AB) // (DM) et alors on conclut.
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Merci JP,
mais pour la question b), on utilise Thalès OK, mais pourquoi partir de
DI/DA =CN/CB ?
Ensuite, comment puis-je justifier que CAB et CKN sont semblables,
de même pour ABD et IHD ?
Par leurs angles égaux, ou le fait qu'ils soient en configuration
de Thalès suffit-il ?
J'ai du mal dans cet exo, je suis un peu noyé dans tous ces rapports égaux.
merci encore de bien vouloir m'apporter quelques explications supplémentaires.
J-P, êtes vous là ?
Merci de bien vouloir m'aider encore un peu dans cet exo...
DI/DA =CN/CB ?
Pour moi c'est l'application directe du théorème de Thales.
Si on veut on peut faire cela un peu différemment.
Les triangles ABD et IHD sont semblales (ils ont leurs cotés directement
// et donc tous leurs angles égaux 2 à 2).
-> DI/DA = DH/DB (1)
Les triangles DBC et HBN sont semblales (ils ont leurs cotés directement
// et donc tous leurs angles égaux 2 à 2).
-> HB/DB = BN/CB
(DB-DH)/DB = (CB-CN)/CB
1 - (DH/DB) = 1 - (CN/CB)
DH/DB = CN/CB (2)
(1) et (2) -> DI/DA = CN/CB
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Ensuite, comment puis-je justifier que CAB et CKN sont semblables ?
angle(CKN) = angle(CAB) (angle à cotés directement //)
angle(KNC) = angle(ABC) (angle à cotés directement //)
angle(KCN) identique à angle(ACB)
-> les triangles CAB et CKN sont semblables comme ayant leurs angles
égaux 2 à 2.
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Raisonnement identique pour montrer que les triangles ABD et IHD sont semblables.
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Sauf distraction
Voilà, maintenant, j'ai tout compris dans la démonstration des
triangles semblables.
Je pense que je vais justifier les triangles semblables avec cette méthode
plutôt qu'avec Thalès (car je ne sais pas si on peut directement
conclure par le théorème de Thalès que deux triangles sont semblables,
du moins on a jamais vu ça en cours).
Merci encore d'avoir passé du temps.
Bonne fin de journée, à bientôt.
Geoffrey.
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