Au début bien remarquer la linéarité de ,il s'agit donc bien d'un endomorphisme du -espace vectoriel [X].
Valeurs propres de :
Soit une valeur propre de ,il existe donc un polynome non nul P tel que:
(P)= P
notons a le coefficient du monome de plus haut degré de P et n son degré on a en comparant les monomes de plus haut degré de (P) et de P :
(3*a*n+a*n*(n-1))=a* c'est à dire:
a*n*(n+2)=a* et comme a est non nul on a donc:
=n*(n+2)
Vecteurs propres de :
Soit n un entier,cherchons P polynome non nul tel que:
3XP'+(X²-1)P"=(n²+2n)P
en notant a*X^d le monome de plus haut degré de P on a:
a*d*(d+2)=a*n*(n+2) d'où: d=n
ainsi les sous-espaces propres sont tous de dimension 1 (pourquoi? )
Traitons d'abord les cas n=0 et n=1:
pour n=0 on a d=0
d'où l'espace propre associé à la valeur propre 0 est le sous-espace de [X]constitué des polynomes constants(il est de dimension 1 dont une base est le polynome constant de valeur 1)
pour n=1 on a d=1
et comme 3P(0)=-P"(0)=0 (en faisant X=0)
l'espace propre associé à la valeur propre 1 est le sous-espace de [X] engendré par le polynome X (lui aussi de dimension 1)
supposons désormais n2 et écrivons:
P=a(0)+a(1)X+a(2)X²+....+a(n-1)X^(n-1)+X^n
(on peut prendre P unitaire grace à la linéarité de )
en égalant les termes en X^i on a:
a(n-1)=0 et i=0...n-2 on a:
a(i)=-(i+1)*(i+2)*a(i+2)/(n-i)*(n+i+2)
on en déduit que a(n-1)=a(n-3)=a(n-5)=.....=0 (P à la parité de n )
reste à determiner les a(i) avec i de meme parité que n.
en notant i=n-2j avec j=0...[n/2](partie entière)
on a: a(n-2*j)/a(n-2*(j-1))=-(n-2*j+1)(n-2*j+2)/4*j*(n-j+1)
d'où en tenant compte que a(n)=1 et en faisant le produit des égalités précédentes pour (j=1..i) on a:
i=1..[n/2]
a(n-2*i)=((-1)^i)*(n-i)!/(4^i)*(i)!*(n-2*i)!
ainsi l'espace propre associé à la valeur propre n²+2n est le sous-espace de [X] engendré par le polynome:
Pn(X)=i=0..[n/2] (-1/4)^i*C(i,n-i)*X^(n-2*i)
(où C(i,n-i) designe le coeficient binomial)
remarque:
on a successivement:
P0=1;P1=X;P2=X²-1/4;P3=X^3-X/2....
CQFD

Salut elhor_abdelali et merci pour ta réponse parce-que avec le petit énoncé que je te donnes tu arrive à retrouver seul les réponses d'un problème comportant une page de questions qui montraient la voie pour y arriver ^^. En + c'est super clair tes explications !

Alors juste une question : es-tu prof de maths ???

Bon,sur ce @@@+++ et bravo pour la réponse et bonne journée : )