A première vue, tu dirais que c'est quoi?
Si tu commences par regarder les vecteurs propres pour la projection et les valeurs propres pour la symétrie, tu devrais avoir des idées (représente toi géométriquement ce qui se passe, indépendemment de ce que valent u,v et w dans un premier temps)

Pour être plus précis:
Que valent s(w)?s(u)?s(v)?
De même pour p.
Vu que ces 3 vecteurs engendrent totalement R^3 tu as la réponse à tes questions.

bah pour les vecteurs je dirais que et sont colinéaires, donc ce sont les vecteurs du plan \pi. no?
Pour la symétrie, je dirais que si le vecteur est appelle alors , et donc la avleur propre ca serait ..
non en fait je vois pas..

Je ne comprend pas ce que tu fais.
Pourquoi ne calcules tu pas les images par s de u,v,w?
Même question avec p.

parce que je vois pas comment faire

T'as essayé de te ramener aux définitions?
Normalement si tu fais la symétrie s par rapport à un plan, les éléments du plan sont des invariants non?
Autrement dit s(x)=x pour tout élément x du plan.
Notamment u et v appartiennent au plan et sont non proportionnels, donc libres, dans un espace de dimension 2.
Notamment s(u)=u s(v)=v et u et v sont libres => 1 est valeur propre et {u,v} engendre le sous espace propre E1.
Il ne reste plus qu'à trouver l'autre valeur propre (si elle existe), et si je ne m'abuse, c'est -1, je te laisse voir comment ca marche.

De même pour p, si je projette sur un plan F, si je suis déjà sur ce plan, alors je suis invariant. (et réciproquement, si je n'y suis pas, je ne suis pas invariant).
Notamment, les valeurs propres vont être 1 et 0 je pense, et les vecteurs propres associés à 1 vont être ceux du plan invariant.
Je te laisse terminer et confirmer/infirmer mes dire.
A+

aucun rapport avec l'exercice. A effacer si possible merci :d

Tu as du voir peut etre que pop=p (caractérisation des projecteurs) et que sos=1 (caractérisation des symétries)

Soit a une valeur propre de p et x un vecteur propre associé:
p(x)=ax par définition
p(p(x))=p(ax)=ap(x)
Puisque pop=p à gauche on a p(x) et à droite on a ap(x)
Puisque x est vecteur propre on obtient ap(x)=a*(ax)=a²x
Et donc p(x)=a²x
Or p(x)=ax
donc ax=a²x et donc (a²-a)x=0 et a(a-1)x=0.
La tu ne peux pas conclure directement que a=1 ou a=0, il te faut un petit argument.

Tu fais la même chose avec les symétries
s(x)=ax
s(s(x))=s(ax)=as(x)=a(ax)=a²x=x
Tu trouves alors (a²-1)x=0 et donc ...
A+

Pour le projecteur on peut dire :
est vecteur propre on peut donc écrire
ou


Pour les symétries, je dirais comme tio que l'on arrive à:
.
Comme est vecteur propre, il reste donc:

On a donc :

Tu n'as pas le droit de multiplier à gauche par x.
Ensuite tu peux avoi x non nul, (a-1) et a non nuls, et pourtant avoir a(a-1)x=0.

Attention donc

ah oui c'est je me suis un peu précipité.
Pour le fait que l'on ne puisse pas multiplier à gauche par x, c'est un problème de commutativité??
Hmm quels sont les valeurs propres alors?

Les valeurs propres, sont, a priori incluse dans {0,1} et {-1,1} suivant les fonctions.
Notamment, c'est pour le cas général, mais toi si sais des choses en plus dans ton énoncé (tu ne t'es servi que du fait que ce soit une symétrie/ un projecteur), essaie d'exploiter le reste.
A+