Bonsoir,

Question 1)
Le somme de 2 nombres impairs est un nombre pair.
Le produit de nombre impair est un nombre impair.
Le produit de nombre pair est un nombre pair.

n²+4n+1=n²+2n+2n+1=n(n+2)+2n+1

2n+1 est impair. Il vous reste à démontrer n(n+2) est impair .

Question 2) j'ai l'impression qu'il y a une coquille dans ce que vous avez écrit. Je suppose que vous vouliez écrire :

n N,  (n²+4n+1 impair n pair)

Pour la question 1 on vous demande une démonstration n, donc il faut faire quelque chose de plus générale.

Pour la question 2, c'est juste si la question est celle que j'ai rédigée.

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Question 1
Je ne vois pas trop comment je peux montrer que n(n+2) est impair.

Je préfère raisonner de la façon suivante :
Si n est pair, alors n = 2k, donc on a :
n²+4n+ 1 = (2k)²+4*2k+1 = 2*2k² + 2*4k + 1 = 2(2k²+4k) + 1 = 2K + 1 avec K = 2k²+4k.
Donc on vient de montrer que si n est pair, alors n²+4n+1 est impair. Mais là, je viens de montrer la contraposée de l'implication, ce qui ne prouve pas l'implication ?

Je devrais aussi traiter le cas où n est impair ?



Question 2
Non, je voulais bien écrire (n²+4n+1 impair), c'est que j'ai dû me tromper dans mon raisonnement.
Mais d'après la table de vérité de l'implication, si on a vrai => faux, le proposition est fausse. Il fallait donc trouver un cas où on a vrai => vrai ou faux =>vrai ou encore faux=> faux.

Pour n = 2, on a n²+4n+1 pair faux => n pair vrai. faux => vrai donne vrai.

salut

il me semble qu'écrire permet de conclure plus simplement car 2n est évidemment pair ...

RAP : ajouter un nombre pair ne change pas la parité ...

Oui je vois, mais il faut montrer que n est impair dans ce cas ?

on a l'équivalence immédiate :

ce qui répond à tes deux questions posées ...

à voir maintenant avec la question "corrigée" par phyelec78

Bonjour,
Sauf erreur de ma part.
si n est pair , n+2 est pair et n(n+2) est pair . On peut écrire n(n+2)=2k

donc la somme n(n+2)+2n+1=2k+2n+1 est impair si n est pair.

si n est impair, n+2 est impair. n=2k+1.
(2k+1)(2k+3)=4k²+4k+6k+3=4k²+10k+2+1
4k²+10k+2 est un nombre pair donc
(4k²+10k+2)+1 est un nombre impair

(4k²+10k+2)+1 +2n+1=(4k²+10k+2) +2n+2
est un nombre pair et n est impair.

La réponse de Carpediem  est plus élégante.

Je ne comprends pas l'intérêt de la quesiton 2.
Dès que tu as montré que l'assertion 1 est vraie, la 2 est automatiquement vraie (∀x, P(x) implique ∃x, P(x) dès que x est pris dans un ensemble non vide)

Et pour la 1, ce n'est pas bien compliqué : .
- un entier a toujours la même parité que son carré (théorème de Fermat dans le cas p=2)
- n+2 a évidemment la même parité que n
- a évidemment une parité opposée à celle de , qui a la même parité que n

j'écrirais plutôt :

ce qui ne change rien puisque 3 est aussi impair que l'est 1

cette transformation est tout aussi efficace (intéressante)  que ce que je propose dans le sens où il ne reste qu'une seule occurrence de la variable donc très facile à traiter ...

Oui, quel étourdi je fais

Sinon, tu peux aussi sortir la tronçonneuse et

n^2 + 4n + 1 = n + 4n + 1 = 5n + 1 = n + 1 mod 2

Et là on voit tout de suite que la parité est opposée à celle de n, quelle que soit cette dernière