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vérification de l'associativité d'un groupe
Bonjour à tous
Soient (G,.) un groupe E un ensemble et f:G--->E une bijection. On pose pour tous x,y appartenant à E x$y=f(g(x) .g(y)) en notant g=f^(-1) la bijection réciproque de f
Prouver que (E,$) est un groupe et qu'il est isomorphe à (G,.)
J'ai juste un problème avec l'associativité de $
vérification de l'associativité:
vérifions que (x$y)$z=x$(y$z)
(x$y)$z=f(g(x$y)$g(z))=f(g(x)$g(y)$g(z))
x$(y$z)=f(g(x)$g(y$z))=f(g(x)$g(y)$g(z))
Je ne vois pas l'erreur
Un petit peu d'aide serait la bienvenue
merci d'avance
Bonjour kyloren.
La force soit avec toi, et pas trop obscure quand même.
L'erreur est sur la première ligne : et non
ah ok effectivement puisque par définition x$y=f(g(x).g(y)) par définition donc pour la deuxieme ligne on a x$(y$z)=f((g(x).g(y$z))=f(g(x).g(y).g(z))
c'est correct cette fois ?
et en notant e le neutre de (G,.) alors le neutre de (E,$) est e'=f(e) car si je note h=g(x) avec g la bijection réciproque de f on a
x.e'=f((g(x)$g(e'))=f(h$e)=f(h)=f(g(x))=x et e'.x=f(g(e')$h)=f(e$h)=f(h)=x
C'est noté de façon trop lourde : on cherche tel que
.
Il vient, pour tout , toujours en notant que g et f sont des bijections inverses l'une de l'autre :
Tu n'as pas besoin d'introduire h = g(x), ça alourdit la notation 
Ensuite, ce n'est pas x.e'=f((g(x)$g(e')) mais x$e' = f(g(x).g(e')).
ok je vois en effet que je me suis emmélé les pinceaux mais pour le symétrique je ne vois pas du tout comment procéder
Bonjour,
Il suffit de réfléchir deux secondes : le but est de définir une structure de groupe sur qui fasse de
un morphisme de groupe.
Le symétrique de ne pourra être que
ou
est le symétrique, dans
, de
.
De la même façon qu'avec le neutre : pour donné, on cherche
tel que
.
C'est donc une équation en à résoudre.
Bonsoir
donc g(e')=g[(f(g(x)$g(y))=g(x)$g(y) ?
g(e')=g(f(g(x).g(y)))=g(x).g(y)
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