Niveau Maths sup

Vérification par induction

Posté par
wilness 01-10-26 à 20:50

Bonjour,

J'ai une question concernant cette démonstration:

Soit $x \geq 1$ et $n \in N$
Pour $n = 1$ :
$\left(1+ x \right)^{n} \geq 1 + nx \\$

Supposons que :
$\left(1+ x \right)^{k} \geq 1 + kx \\$

Alors: $\left(1+ x \right)^{k+1} = \left(1+ x \right)^{k}\left(1+x \right) \geq \left(1+kx \right) \left(1 +x \right)$

Maintenant
$\left(1+kx \right) \left(1 +x \right) = 1 + \left(k+1 \right)x + x^{2} \geq 1 + (k+1)x$
Donc
$\left(1+x \right) ^{n} \geq 1 + nx$ pour n un nombre naturel

J'aimerai savoir pourquoi il y a $x^{2}$ au lieu de $kx^{2}$ dans le développement de $\left(1+kx \right) \left(1 +x \right)$
? Je pensai qu'il devrait y avoir un k pour que l'inégalité soit vraie

Merci d'avance

Vérification par induction

Posté par re : Vérification par induction 01-10-26 à 22:52

Bonsoir,

Oui, pour le facteur $k$ , dans le cas d'une égalité,
$(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2$

Mais, dans le cas d'une inégalité, le facteur $k$ peut effectivement disparaître puisque, pour $k\ge1$ , $kx^2\ge x^2$ , ainsi
$(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge1+(k+1)x+x^2\ge1+(k+1)x$

Posté par re : Vérification par induction 02-10-26 à 16:49

Merci beaucoup pour cette clarification! Dans quel cas est-ce que $1 + \left(k +1 \right)x+ x^{2} = 1 + \left(k +1 \right)x$ alors que $x$ doit être $\geq 1$ ?

Cordialement

Posté par re : Vérification par induction 02-10-26 à 23:29

Bonsoir,

La récurrence n'a besoin que des inégalités.

Pour ta dernière question, pars de $1+(k+1)x+x^2=1+(k+1)x$ , et retranche $1+(k+1)x$ des deux côtés. Quelle équation reste-t-il à résoudre ?

Posté par re : Vérification par induction 03-10-26 à 08:21

Bonjour,

L'équation devient $x^{2} = 0$ ce qui donne $x=0$

Et pourtant $x \geq 1$ au départ

Cordialement

Posté par re : Vérification par induction 03-10-26 à 10:08

Bonjour,

Le "k" DOIT bien être présent dans la ligne :

(1+kx)(1+x) = 1 + (k+1)x + kx² >= 1 + (k+1).x

Son oubli, ne rend pas l'inégalité incorrecte ... mais c'est néanmoins une erreur d'oublier le k dans l'écriture.

Avec x >= 1, on a x² >= 1 et donc 1 + (k+1).x + x² > 1 + (k+1).x
Le "=" est ici impossible mais ce ne serait pas faux de mettre >= même si le = est impossible.

Par contre, avec le k bien présent : le "=" de ">=" est alors possible (avec k = 0) et donc l'écriture 1 + (k+1).x + kx² >= 1 + (k+1).x est obligatoire.

Posté par re : Vérification par induction 03-10-26 à 15:19

D'accord, merci encore pour l'explication

Cordialement

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