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Niveau maths sup
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viariable aleatoire en continue

Posté par
Krik
12-01-18 à 23:50

salut a tous . j'espère que vous allez bien. j'ai quelques problèmes sur les variables aléatoires en continue . voici les énoncés :

1)
On désigne par X un nombre choisi au hasard sur l'intervalle (0, 1) et par la suite un
nombre Y est choisit au hasard sur l'intervalle (0, x) où x est la réalisation de X
a)
Déterminez la densité marginale de X et la densité conditionnelle de Y si X = x ?
je trouve fX(x) =\begin{cases} 1 & \text{ si } x\in [0,1] \\ 0 & \text{  } sinon \end{cases}
et fY/X=x(y) = \begin{cases} 1/x & \text{ si } y\in [0, x] \\ 0& \text{  } sinon \end{cases}


b) Calculez P( X + Y > 1) ?  

c) determiner la densite de y .  :
je trouve : fY(y) = -ln(y) si 0<y<1

d) calculer le coefficient de corrélation entre X et Y ??

sur cet exercice je suis bloque sur la question b et sur le d
en fait au d ) j'ai besoin de calculer la covariance .
on a Cov(X, Y) = E(XY)-E(X).E(Y)
or E((X+Y)2) = E(X2) + E(Y2) + 2E(XY) .
je peux donc avoir E(XY) . mais je n'arrive pas calculer la densite de X+Y .




2)

on consider deux variables aleatoire X et Y independantes suivant une loi uniforme sur [0,1] . on pose Z = X+Y

a) determiner la densite de probabilite de Z ?

fZ est le produit de convolution de fX  et fY
je trouve : fZ(z) = \begin{cases} z & \text{ si } z \in [0,1] \\ 2-z& \text{ si } z\in [1,2] \\ 0& \text{ } sinon \end{cases}


b) montrer que pour tout x ]0, 1[ , les evenements {Z>1} et {1-x<Z1+x} sont independants .
pour cela j'ai calcule  :  PZ>1(1-x<Z1+x) et je trouve : 2x
et je calcule aussi : P(1-x<Z1+x) je trouve x-x2 . ca doit etre identique pour me permetre de conclure . peut etre que j'ai rate la densite de Z . je ne vois pas d'autres issus pour montrer cela .


3) on considere le couple de variable aleatoire : V = (X,Y) de fonction de densite de probabilte pv = \begin{cases} \theta ^{x} & \text{ si } x= 0,1,2,... \\ x!e^{-\theta }\bigl(\begin{smallmatrix} x\\y \end{smallmatrix}\bigr)p^{y}(1-p)^{x-y}& \text{ si } y = 0, 1, 2, ..., x \\ 0& \text{ ailleur } \end{cases}


1) determiner : la probabilite marginale de X , loi  de probabilite conditionnelle de Y etant donne X = x
2) determez la loi marginale de Y.

sur cet exercice je ne demare meme pas car je ne sais meme pas si on est en continu ou en discret car je vois  : x = 0, 1, 2 ,... donc qui est discret et on me parle encore de fonction densite de probabilte .
et aussi je ne vois pas de relation dans les condition de definition cette densite ( x = 0, 1, 2.. , ; y = 0, 1, ..., x) je ne vois meme pas dans quel cas utiliser x ou l'autre .



je compte sur vous pour m'aider !

Posté par
verdurin
re : viariable aleatoire en continue 13-01-18 à 17:02

Bonsoir,
pour le calcul de E(XY) on peut facilement calculer E(XY|X=x) et en déduire la loi de la variable aléatoire E(XY|X).

Ensuite on utilise E(Z)=E(E(Z|X))

Posté par
veleda
re : viariable aleatoire en continue 13-01-18 à 18:43

bonsoir,
2) la densité que tu proposes pour Z est correcte
on a une distribution symétrique par rapport à 1

Posté par
veleda
re : viariable aleatoire en continue 13-01-18 à 21:38

P(Z>1)=1/2
je trouve P(1-xZ1+x)=2x-x²
et
P/(Z>1)(1-xZ1+x)=\frac{x(2-x)}{2}
sauf étourderie

Posté par
verdurin
re : viariable aleatoire en continue 13-01-18 à 22:02

Salut veleda et bonne année.
Je crois qu'il y a une étourderie :
je dirais que tu as calculé
$P$\Bigl((1-x\leqslant Z\leqslant 1+x)\cap(Z\geqslant 1)\Bigr)
et non
$P$\Bigl((1-x\leqslant Z\leqslant 1+x)\vert_ {Z\geqslant 1}\Bigr)

Posté par
Krik
re : viariable aleatoire en continue 13-01-18 à 23:59

salut a tous et merci pour vous propositions  . mais je calcule E(XY|X=x) comment svp ??

et pour P((1-x<Z<1+x)|zx)) je trouve aussi (2x-x2)/2 n'est ce pas \int_{1}^{1+x}{(2-z)dz} ??

Posté par
veleda
re : viariable aleatoire en continue 14-01-18 à 12:05

bonjour,
>vedurin
merci,j'ai oublié de diviser par P(Z1) soit par1/2

bonne année à toi aussi

Posté par
Krik
re : viariable aleatoire en continue 14-01-18 à 23:07

salut et merci . j'ai compris pour les evenements independants

Posté par
verdurin
re : viariable aleatoire en continue 15-01-18 à 15:44

Pour l'espérance de XY.

E(XY|X=x)=xE(Y|X=x)
or dans ce cas Y suit une loi uniforme sur [0;x]
on a donc E(Y|X=x) =(1/2)x
et
E(XY|X=x)=(1/2)x²

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