M est sur C1, les coordonnées de M(X;Y) doivent satisfaire f(x) ->
Y = V(X)               ( V pour racine carrée).
On a donc: M(X ; VX)    

N est sur C2, les coordonnées de N(X;Y') doivent satisfaire g(x)
-> Y' = V(X+1).
On a donc: N(X ; V(X+1))

h(x) = V(x+1) - V(x)

a)
On conjecture que lim(x->oo) h(x) = 0

b)
h(x) = V(x+1) - V(x) = (V(x+1) - V(x)).(V(x+1) + V(x))/(V(x+1) + V(x))
h(x) = V(x+1) - V(x) = (x+1 - x)/(V(x+1) + V(x)) = 1/(V(x+1) + V(x))

c)
(V(x+1) + V(x) > 0 pour x >=0 ->
h(x) >= 0 pour x >= 0    (1)

V(x+1) >= V(x) pour x >=0 ->
V(x+1) + V(x) >= 2.V(x)
1/(V(x+1) + V(x)) <= 1/(2.V(x))
h(x) <= 1/(2.V(x)) pour x >=0    (2)

(1) et (2) ->
0 <= h(x) <= 1/(2.V(x))

d)
0 <= lim(x->oo) h(x) <= lim(x->oo) [1/(2.V(x))]
0 <= lim(x->oo) h(x) <= 0
Et donc lim(x->oo) h(x) = 0
-----
Sauf distraction.

Bonjour,

h(x) = MN


M appartient à C1 => M (x, f(x))
N appartient à C2 => N( x, g(x))

(même x car M et N ont la même abscisse)

Soit P (x,0) projection de M sur Ox (ou N sur Ox)

h(x) = MN = | PM - PN |
h(x) = |g(x)-f(x)| = | rac(x+1) - rac(x)|

Multiplie par le conjugué de l'expression

h(x) = |(rac(x+1) - rac(x))(rac(x+1) +rac(x)|/|rac(x+1)+rac(x)|

En développant le numérateur = 1 car x>=0
rac(x+1)>= 0 et rac(x)>= 0
Donc la valeur absolue est inutile

=> h(x) = 1/(rac(x+1) + rac(x))


Pour l'encadrement pense que tu as affaire à des termes positifs
et que la fonction racine est croissante sur R+

En espérant que ces informations te débloqueront, bon courage.