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Vive les futurs prof d école élémentaire !!!!!!

Posté par (invité) 11-12-03 à 11:58


Je m'appelle Ophélie et je suis étudiante en 1ière année d'IUFM
et je galère un peu sur ce devoir a rendre Pas cool surtout que ça
a l'air très facile ces question vu que ce sont les première
et que tout le reste G réussi


on donne un hexagone régulier ABCDEF de longueur de coté a et de centre
o
Les droites qui supportent ses coté se coupent aux points PQRSTU

Montrer que le triangle ABP est equilatéral

Montrer que le triangle PCQ est rectangle En déduire la longueur la longueur
PQ en fonction de a

Voici les 2 question que je réussi pas a trouver ( je suis etudiante a
l'iufm 1ière année Vive les futurs prof!!! )

Et encore une question: Construire le cercle de centre o et de rayon
r. Montrer qu'il est tangent aux 6cercles circonscrits

Merci d'avance car je blok meme si je sais que C evident quand on
voit la figure

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Vive les futurs prof d école élémentaire !!!!!! 11-12-03 à 13:24

Calcul de l'angle(BAF):
On joint O à tous les sommet de l'exagone.
Il y a ainsi 6 triangles de formés.
La somme des angles d'un triangle = 180°
La somme des angles des 6 triangles = 6*180° = 1080°

En enlevant tous les angles en O de ces triangles, il reste : 1080 -
360 = 720°
A se répartir sur les 6 angles intérieur de l'hexagone.
Donc angle(BAF) = 720/6 = 120°

Angle(PAB) = 180° - angle(BAF) = 180° - 120°
Angle(PAB) = 60°

On montre de la même façon que l'angle(ABP) = 60°
La somme des angles d'un triangle = 180°, dans le triangle PAB,
on a:
angle(PAB) + angle(ABP) + angle(APB) = 180°
60° + 60° + angle(APB) = 180°
angle(APB) = 60°

Donc on a:  
Angle(PAB) = angle(ABP) = angle(APB) = 60°

Le triangle ABP a ses 3 angles égaux à 60°, il est donc équilatéral.
-----
De la même façon on montre que le triangle BCQ est équilatéral.

On a donc: AB = BC = PB = BQ = CQ

angle(PBQ) = angle(ABC) (opposés par le sommet)
angle(PBQ) = 120°

Loi des cosinus dans le triangle PQB:
PQ² = PB² + BG² - 2.PB.BG.cos(PBQ)
PQ² = AB² + AB² - 2.AB.AB.cos(120°)
PQ² = 2AB² - 2.AB².(-1/2)
PQ² = 3AB²

PC = PB + BC = AB + AB = 2AB
PC² = 4.AB²

CQ = AB
CQ² = AB²

On a donc PQ² + CQ² = 3AB² + AB² = 4AB²
-> PQ² + CQ² = PC²
Et par Pythagore, le triangle PCQ est rectangle.

On a montré que PQ² = 3.AB² = 3a²
-> PQ = (V3).a    avec V pour racine carrée.
----------------------------------
Autre façon (plus simple) pour montrer que le triangle  PCQ est rectangle:

On a montré que angle(PBQ) = 120°
Comme PB = BQ, le triangle PBQ est isocèle. -> angle(BPQ) = angle(PQB)

La somme des angles d'un triangle = 180°, dans le triangle PBQ,
on a:
angle(PQB) + angle(BPQ) + angle(PBQ) = 180°
2.angle(PQB) + 120° = 180°
angle(PQB) = 30°

Angle(PQC) = angle(PQB) + angle(BQC)
Angle(PQC) = 30° + 60° = 90°

Et donc le triangle PCQ est rectangle.

On trouve alors PQ par pythagore dans le triangle PCQ
PC² = QC² + PQ²
(2a)² = a² + PQ²
PQ² = 3a²
PQ = (V3).a
-----
Sauf distraction.

Posté par Guillaume (invité)re : Vive les futurs prof d école élémentaire !!!!!! 11-12-03 à 13:35


Salut,
autres methodes que celles de JP:

1)
angle(PBA)=180-angle(ABO)-angle(OBC)=180-60-60=60
angle(BAP)=180-angle(BAO)-angle(FAO)=180-60-60=60
angle(APB)=180-angle(BAP)-angle(PBA)=180-60-60=60

les trois angles de ABP valent 60 deg il est donc equilateral

2)PQC est aussi equilateral!
PQ=a
PC=2a
donc Q est sur un cercle de centre B de diametre PC donc PQC est un angle
drot
le triangle est rectangle
pythagore:
PQ²+QC²=PC²
PQ²=4a²-a²=3a²
PQ=rac(3)a

A+



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