au rang n :

(  |z1+z2+...+zn|=|z1|+|z2|+...+|zn| )    zi ont le meme argument

au rang n+1 :

|z1+z2+...+zn+z(n+1)| = |z1|+|z2|+..+|zn+z(n+1)|   là j'utilise l'hypothèse de recurrence

                      = |z1|+|z2|+..+|zn|+|z(n+1)|   là j'utilise l'hypothèse pour n=2
=> zi ont le meme argument

reciproque:
si |z1+z2+..+zn+z(n+1)|=|z1|+|z2|+..+|zn|+|z(n+1)|
                       =|z1|+|z2|+..+|zn+z(n+1)|=|z1|+|z2|+..+|zk| avec zk=zn + z(n+1)
                       alors les zi ont le meme argument (hypothese de recurrence pour n)
(|zn|+|z(n+1)|=|zn+z(n+1)|)
=> z1,z2,..,z(n-1),zk ont le meme argument et
=> z1,z2,..,z(n-1),zn,z(n+1) ont le meme argument ici j'applique l'hypothese pr zn et z(n+1)