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Niveau maths sup
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Voisinage

Posté par
matheux14
30-09-21 à 23:02

Bonjour,

Merci d'avance.

Soit a un nombre réel. On dit que V \subset \R est voisinage de a si et seulement s'il existe \epsilon > 0 tel que [a-\epsilon ; a + \epsilon]

Comment montrer que \epsilon = \dfrac{1}{2}min \{a-\epsilon ; a+\epsilon \} ?

Posté par
jsvdb
re : Voisinage 30-09-21 à 23:10

Bonsoir matheux14.

Citation :
On dit que V \subset \R est voisinage de a si et seulement s'il existe \epsilon > 0 tel que [a-\epsilon ; a + \epsilon]\red \subset V


Citation :
Comment montrer que \epsilon = \dfrac{1}{2}min \{a-\epsilon ; a+\epsilon \} ?

Alors ça c'est une question vicelarde car ici \varepsilon est exprimé en fonction de lui-même !!!

A mon avis, tout cela est à reformuler !

Posté par
matheux14
re : Voisinage 30-09-21 à 23:15

C'est plutôt

Citation :
Comment montrer que \epsilon = \dfrac{1}{2}min \{a ; 1-a \} ?
avec a de ]0 ; 1 [

Posté par
jsvdb
re : Voisinage 30-09-21 à 23:25

En fait, il n'y a rien à montrer.
On dit que V est voisinage s'il existe \varepsilon tel que bla bla.

Mais s'il existe un tel \varepsilon, alors tous les \dfrac{\varepsilon}{t},~t>1 convient aussi.
Du coup, vouloir montrer que \epsilon = \dfrac{1}{2}\min \{a ; 1-a \} n'a pas vraiment de sens.

Posté par
matheux14
re : Voisinage 02-10-21 à 03:03

Si je comprends bien, \epsilon n'est pas toujours égal à  \dfrac{1}{2}\min \{a ; 1-a \}

Posté par
matheux14
re : Voisinage 02-10-21 à 03:05

Si je comprends bien, \varepsilon n'est pas toujours égal à  \dfrac{1}{2}\min \{a ; 1-a \}

Posté par
Zormuche
re : Voisinage 02-10-21 à 04:21

Non, epsilon peut être égal à ce qu'on veut, et ça reste un voisinage.

En revanche, parfois on est amenés à déterminer des epsilons particulier pour démontrer l'existence de certaines choses. Limites, voisinages, etc.

Ici, si on suppose que a est dans ]0,1[, peut-être qu'on veut montrer qu'il existe un voisinage de a qui soit strictement inclus dans ]0,1[. Dans ce cas, l'expression d'epsilon que tu as donnée est pertinente.

Posté par
matheux14
re : Voisinage 02-10-21 à 19:07

Citation :
Ici, si on suppose que a est dans ]0,1[, peut-être qu'on veut montrer qu'il existe un voisinage de a qui soit strictement inclus dans ]0,1[. Dans ce cas, l'expression d'epsilon que tu as donnée est pertinente.


Donc si on travail sur ]0 ; 1[ on aura \varepsilon = \dfrac{1}{2}min \{0 ; 1\} ?

Si c'est ]0 ; 3[
Comment je fais pour trouver epsilon ?

Posté par
Zormuche
re : Voisinage 02-10-21 à 19:31

Cela dépend de ce que tu veux faire. L'exemple que je t'ai donné sur ]0,1[ sert précisément à faire en sorte qu'on ait  a-\varepsilon>0  et  a+\varepsilon<1
Pour trouver la valeur qui nous convient, on a recours à l'intuition en général.

Posté par
matheux14
re : Voisinage 02-10-21 à 19:34

Ok, tu pourrais faire l'exemple pour ]0 ; 1[

Posté par
Zormuche
re : Voisinage 02-10-21 à 19:36

Si on est dans ]0,3[, on prendra epsilon = 1/2 max(3-a, a)

Mais tout ça n'est qu'un exemple, il y a plein d'autres contextes où on a besoin de donner un epsilon particulier. Le premier exemple qui me vient en tête est la démonstration de l'unicité de la limite d'une suite

Posté par
matheux14
re : Voisinage 02-10-21 à 19:47

Avec a de ]0 ; 3[ ?

mini ou max ? Sinon quand est-ce qu'il faut choisir min ou max ?

Dans ce cas je peux prendre a = 2 ?

Donc \epsilon = 1/2

Posté par
Zormuche
re : Voisinage 02-10-21 à 20:36

min, pardon. Pas max.
On choisit cette formule, comme je t'ai dit au dessus, car on veut simultanément  a+\varepsilon<1  et  a-\varepsilon>0
d'où  \varepsilon < 1-a  et  \varepsilon < a
donc  \varepsilon < \min(1-a,a)
Et on multiplie par 1/2 pour être inférieur

Posté par
Zormuche
re : Voisinage 02-10-21 à 20:36

On n'est pas obligé de prendre ça, mais c'est la formule la plus simple pour composer un nombre qui vérifie les deux conditions que je t'ai données



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