Bonsoir matheux14.

Citation :
On dit que est voisinage de a si et seulement s'il existe tel que

Citation :
Comment montrer que ?

C'est plutôt

Citation :
Comment montrer que ?

En fait, il n'y a rien à montrer.
On dit que V est voisinage s'il existe tel que bla bla.

Mais s'il existe un tel , alors tous les convient aussi.
Du coup, vouloir montrer que n'a pas vraiment de sens.

Si je comprends bien, n'est pas toujours égal à

Si je comprends bien, n'est pas toujours égal à

Non, epsilon peut être égal à ce qu'on veut, et ça reste un voisinage.

En revanche, parfois on est amenés à déterminer des epsilons particulier pour démontrer l'existence de certaines choses. Limites, voisinages, etc.

Ici, si on suppose que a est dans ]0,1[, peut-être qu'on veut montrer qu'il existe un voisinage de a qui soit strictement inclus dans ]0,1[. Dans ce cas, l'expression d'epsilon que tu as donnée est pertinente.

Cela dépend de ce que tu veux faire. L'exemple que je t'ai donné sur ]0,1[ sert précisément à faire en sorte qu'on ait    et  
Pour trouver la valeur qui nous convient, on a recours à l'intuition en général.

Ok, tu pourrais faire l'exemple pour ]0 ; 1[

Si on est dans ]0,3[, on prendra epsilon = 1/2 max(3-a, a)

Mais tout ça n'est qu'un exemple, il y a plein d'autres contextes où on a besoin de donner un epsilon particulier. Le premier exemple qui me vient en tête est la démonstration de l'unicité de la limite d'une suite

Avec a de ]0 ; 3[ ?

mini ou max ? Sinon quand est-ce qu'il faut choisir min ou max ?

Dans ce cas je peux prendre a = 2 ?

Donc

min, pardon. Pas max.
On choisit cette formule, comme je t'ai dit au dessus, car on veut simultanément    et  
d'où    et  
donc  
Et on multiplie par 1/2 pour être inférieur

On n'est pas obligé de prendre ça, mais c'est la formule la plus simple pour composer un nombre qui vérifie les deux conditions que je t'ai données