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volume d un petit morceau de tore...

Posté par Boune (invité) 31-01-06 à 15:04

Bonjour à tous,

je suis étudiant en architecture et je suis en train de faire un travail sur un bâtiment (l'American Air Museum, à Duxford, de sir N. Foster).
Ce bâtiment profite des propriétés du tore (entr'autre la préfabrication d'éléments identiques) afin de proposer une réponse économique et pratique à plusieurs problemes (pour en savoir plus: "http://aam.iwm.org.uk/server.php?show=nav.00h").
Dans le cadre de ce travail je dois trouver le volume de ce bâtiment et la surface de son toit.
Je vais essayer de décrire le volume. La forme  de base est un tore de grand rayon D=278m et de petit rayon d=64m. En regardant ce tore de sorte qu'il forme un 0, le volume est le moitié (selon un plan vertical) d'un petit bout coupé le long d'un plan horizontal (hauteur entre le plan de coupe horizontal et le sommet 18,8m).  
Tout ce que j'ai trouvé dans la litérature mathématique, est une formule proposant le calcul d'un volume à partir des surfaces créées en coupant le volume avec des plans parallèles. Je suis désolé, mais je n'ai plus fait de calcul intégral depuis 6 ans, je ne comprends ni la formule ni comment l'apliquer. Quelqu'un peut il m'aider??? J'ai attaché deux images explicatives...

Merci d'avance.



volume d un petit morceau de tore...

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 31-01-06 à 15:09

bonjour

les 18,8 m sont la hauteur de la calotte sur un axe radial ?

qu'est-ce qui est égal à "la moitié" ?

Philoux

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 31-01-06 à 15:11

SAns en être certain : théorème de Guldin à appliquer correctement (c'est là que le bats blesse )

Philoux

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 31-01-06 à 15:24

sinon, trouvé ici :

Philoux

volume d un petit morceau de tore...

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 31-01-06 à 15:29

mais la surface que tu cherches n'est cependant pas une calotte de sphère...

Shade !

Philoux

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 31-01-06 à 15:31

Es tut mir leid!

Schade !

Philoux

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 31-01-06 à 15:48

En prenant h la hauteur sur l'axe radial et appelant y la 1/2 base de la section, on a :

(d/2 - h)² + y² = (d/2)² => y = V( h(d-h) ) avec V=racine

pour x=0, x étant l'autre variable dans le plan de section : la surface est celle d'une section de disque d'ouverture a ( => cos(a/2) = (d/2 - h)/(d/2) => a = 2arccos(1-2h/d) ) à laquelle on ôte les 2 triangles

A = (a/2)(d/2)² - triangles = (d²/4)arccos(1-2h/d) - (d-2h)V( h(d-h) )


Maintenant, il ne "reste plus" qu'à exprimer la hauteur h(x) et d'intégrer selon x qui variera de 0 à xmax = V ( h(D-h) )

Y'a plus qu'à...

Philoux

Posté par Boune (invité)merci 01-02-06 à 10:59

merci à vous philoux...

j'ai fini par trouver une solution plus simple pour moi, mais pas très réjouissante d'un point de vue mathématiques.

J'ai trouvé l'outil "mass" dans mon programme de DAO et j'ai donc enfin pu trouver ce satané volume.

Merci quand même pour les réponses.

A bientôt...

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 01-02-06 à 11:04

Merci pour le retour sur info, boune

Je vais continuer la recherche analytique (le pb m'intéresse) et je serais curieux d'avoir ta solution numérique.

N'hésites pas à la poster sur ce fil,

Merci

Philoux

Posté par Boune (invité)voici le résultat.... 01-02-06 à 22:01

Voici les valeurs que me donne le programme de DAO pour le volume du musée comme indiqué sur l'image en attachement...

Volume = 70.271,275m³
Surface totale = 7.995,58m²

voilà.

tenez-moi au courant pour le résultat analytique.

En fait ce genre de problème m'interesse, mais je ne prends pas le temps (je ne l'ai pas vraiment en fait)...

Merci encore.

A bientôt.

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 02-02-06 à 10:12

Bonjour

En figure 1 est représenté le plan en coupe; la surface élémentaire dans ce plan de coupe est la surface APQR = secteur OAQR moins 2 triangles OPA

Calculons AP=y : dans OPA, (d-h)²+y²=d² => y²-2hd+h²=0 => y=V(h(2d-h)) (V=racine)
Calculons l'angle z : dans OPA, cosz = (d-h)/d = 1 -h/d => z = arccos(1-h/d)

Le secteur d'ouverture 2z a pour surface z.d²
Le triangle OPA a pour surface y(d-h)/2 = ( (d-h)V(h(2d-h)) )/2

L'aire cherchée vaut alors d²arccos(1-h/d) - (d-h)V(h(2d-h))

Maintenant, en figure 2, sont indiqués les différents plans de coupe passant par C, le centre de symétrie du tore situé à 278 m du bord extérieur du tore.
Cette fois-ci nous allons faire des coupes selon t, l'angle variant entre 0 (le précédent plan de coupe) et t@ = arccos(1-h/D) = arccos(1-18.8/278) = 0,37 rad (21°)

Pour un t donné, déterminons la hauteur MS qui va se substituer au h précédent, devenant alors fonction de l'angle t : h(t)

MS=D-CS or dans le triangle CPS on a : cost=(D-h)/CS => CS=(D-h)/cost et donc : MS=h(t)=D-(D-h)/cost

Les différentes surfaces élémentaires vaudront alors :

s(t) = d²arccos(1-h(t)/d) - (d-h(t))V(h(t)(2d-h(t))) avec h(t) = D-(D-h)/cost

le volume cherché consiste à faire la somme des volumes élémentaires définis par ces surfaces multipliées par un dx sur l'axe PN, dx qu'il faut définir en fonction de dt (** c'est ici que je ne suis pas trop sûr et demande confirmation)
Dans CPS : tant=x/(D-h) => ( tant )'dt = dx/(D-h) => dx = (D-h)(1+tan²t)dt

donc V = Somme de ( S(t).dx ) = Somme de ((D-h).(1+tan²t).S(t).dt) avec t variant de 0 à t@

A la machine, SQN, cette somme est égale à 69 256 mètres cube.

Afin de vérifier, j'ai voulu avoir un ordre de grandeur de ce volume ; pour cela, j'ai calculé la profondeur de la pièce = 100,50 m ainsi que sa largeur = 90,60 m;
Puis, j'ai dis qu'en prenant un morceau composé de triangles et non d'arcs de tore, j'obtiendrais une valeur par défaut :
Avec une pyramide de 90,6 m de large sur 18,8 m de haut et 100,5 m de profondeur, j'obtiens un volume de :
90,6 * (18,8/2)*(100,5/2) = 43 800 m3 ce qui est bien une valeur par défaut.

Aux arrondis de calculs d'intégration, le volume de cette salle devrait, sauf erreurs de raisonnement, être celui-ci.

Peux-tu me le confirmer à partir de ton process de DAO ?

On peut, je crois, procéder de même pour la surface du toit...

Philoux

(Sympa : des maths qui servent à quelquechose... )


volume d un petit morceau de tore...

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 02-02-06 à 10:14

Et la courbe S(t) ayant permis l'intégration...

Si des mathîliens plus "affutés" pouvaient me confirmer ce calcul de volume, notamment le passage surfaces->volume par multiplication du "dx" à partir du "dt"...

Merci à eux !

Philoux

volume d un petit morceau de tore...

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 02-02-06 à 11:20

Je viens seulement de lire ta réponse donnée hier à 22:01

tu trouves Volume = 70.271,275m³ alors que je trouve Volume=69.256 m3 soit un écart de 1,44 %.

reste à savoir si celà provient :
- d'un arrondi de calcul de ta DAO,
- d'un arrondi de calcul de mon intégrale,
- d'une erreur de raisonnement de ma part.

Si d'autres GM avaient le courage (seulement le courage, car la compétence j'en connais beaucoup qui sont bien plus affutés que moi...) de vérifier/confirmer/infirmer...

Philoux


Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 03-02-06 à 18:42

bonjour

j'ai essayé de calculer cette intégrale avec wims :

f(x) = (278-18.8)(1+(tan(x))²)( (64²) arccos(1-( 278-(278-18.8)/cos(x) )/64) - (64-( 278-(278-18.8)/cos(x) )) ( (( 278-(278-18.8)/cos(x) )(2d-( 278-(278-18.8)/cos(x) )) )1/2 ) )

entre 0 et 0,3689 radian

qui n'y parvient pas.

Voyez-vous une erreur à partir de l'explication ci-dessus ?

Auriez-vous un autre outil qui saurait le faire ?

Merci à l'avance

Philoux

Posté par Boune (invité)le DAO je vous dis pas... 04-02-06 à 16:04

Bonjour,

chouette que philoux soit toujours occupé avec mon problème.

Pour ce qui est des différences de résultat, je penche plutot vers l'arrondi du DAO que de l'intégrale. La raison qui me fait dire cela, c'est que mon programme me donne des résultats très différents entre le volume à l'échelle 1/1 et le volume à l'échelle 1/100 (je cherchais à calculer le rapport volume/surface qui est étonnament grand à l'échelle 1/1 style 4m3 par m2 et 0.155m3 par m2 à l'échelle 1/100 (qui me parait un résultat probable). Donc soit je fais une erreur de manipulation quelque part et le 70.000m3 sont fantaisistes, soit le programme à un bogue. De toute façon je vais redessiner le tout, dirrectement aux deux échelles, sans faire de mise à l'échelle depuis le grand modèle et voir ce qui ce passe. Je vous tiens au courant...

Bientôt noël...

Boune

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 04-02-06 à 16:13

merci boune

mon souci est que l'utilitaire de calcul d'aire me donne aussi, quelquefois, des résultats vraiment très approchés (l'algo en cause ?)

Je suis certain que d'autres mathîliens ont des outils de calcul plus performants que le miens mais je crains que l'expression "à rallonge" ne les rebute quelque peu...

J'aurai cependant bien aimé une confirmation/infirmation...

Schade !

Philoux

Posté par philoux (invité)re : volume d un petit morceau de tore... 04-02-06 à 16:28

Boune

Je suis allé sur le site dont tu donnes le lien.

Y-a-t'il une page de ce site qui décrit le bâtiment ? (seule la photo de la page d'entête du site semble visible ?)

Philoux



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