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Posté par raulic (invité)volume dans un cylindre couché incliné 17-01-05 à 11:43

bonjour

j'ai un petit problème à résoudre et qui est assez compliqué.
Je doit calculer le volume contenu dans un cylindre couché sur le flanc partiellement rempli. Mais ou ça se corse c'est que l'on incline ce cylindre d'un angle a par rapport à l'horyzontale.

Si vous pouvez m'aider merci


*** message déplacé ***

Niveau maths sup
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volume dans un cylindre couché et incliné

Posté par raulic (invité) 17-01-05 à 16:09

bonjour

j'ai un petit problème à résoudre et qui est assez compliqué.
Je doit calculer le volume contenu dans un cylindre couché sur le flanc partiellement rempli. Mais ou ça se corse c'est que l'on incline ce cylindre d'un angle a par rapport à l'horizontale.

De plus il y a un trou dans la patie supérieure du cylindre qui sert de trop plein.
J'attache à ce message un petit croquis pour bien comprendre de quoi il s'agit. J'ai réussi a calculer V1 et V2 mais V3 me pose problème

Si vous pouvez m'aider merci


volume dans un cylindre couché et incliné

Posté par
manpower
re : volume dans un cylindre couché et incliné 17-01-05 à 18:24

???

V2 = V3/2 !

(peu importe le trop plein)

Posté par
manpower
re : volume dans un cylindre couché et incliné 17-01-05 à 18:24

Ooops !

V3 = V2/2 bien sûr. Désolé !

Posté par raulic (invité)petite rectification 18-01-05 à 08:07

La question porte sur un cylindre donc la section est un cercle!
deplus j'aierais si possible que votre réponse soit fonction de l'angle a

Raulic

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : volume dans un cylindre couché incliné 18-01-05 à 10:32

En vitesse et aucune vérification.

Sauf cas particulier, il n'y a pas de raison que le niveau du liquide du coté opposé au trou de trop plein arrive au milieu de la face du cylindre.

Sur le dessin de gauche:

Soit S l'aire d'un segment de cercle de rayon R = OA (en bleu)
Soit Beta l'angle AOB exprimé en radians.

S = (R²/2).(Beta - sin(Beta))
f = 2R.sin²(Beta/4)

-> sin(Beta/4) = V(f/2R)  avec V pour racine carrée.
Beta = 4.arcsin(V(f/2R))

S = (R²/2).(4.arcsin(V(f/2R)) - sin(4.arcsin(V(f/2R))))
-----
Sur le dessin de droite:

f = X.tg(alpha)

Pour la partie en jaune:
S(x) = (R²/2).(4.arcsin(V(x.tg(alpha)/2R)) - sin(4.arcsin(V(x.tg(alpha)/2R))))

Soit V1(x) le volume en jaune:

V_1(x) = \int_0^L S(x) dx

Le volume de liquide dans la citerne est alors V(x) = Pi.R².L - V1(x)
-----
Il reste à calculer l'intégrale ...

Il faut peut-etre adapter la formule si alpha devient trop grand et que le liquide à droite de la citerne sur le dessin n'atteint plus au moins la moitié de la face de droite.
------




volume dans un cylindre couché incliné

Posté par raulic (invité)aide sur intégrale 18-01-05 à 14:00

J-P 'correcteur) Pourrait tu m'aider pour intégrer l'intégrale V1(x)

Pardon de prendre ton temps.

Raulic

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : volume dans un cylindre couché incliné 18-01-05 à 16:01

Je manque un peu de courage pour faire toute l'intégrale, je vais commencer.

Une primitive de la partie arcsin(V(x.tg(alpha)/2R) soit d'une fonction de la forme arcsin(V(kx)):

 \int arcsin(\sqrt{kx})dx
Poser sin²y = kx
-> 2.sin(y).cos(y).dy = k.dx
sin(2y).dy = k.dx
arcsin(V(kx))=y

 \int arcsin(\sqrt{kx})dx = \frac{1}{k}.\int y.sin(2y) dy = \frac{1}{4k}.[sin(2y)-2y.cos(2y)]

 \int arcsin(\sqrt{kx})dx = \frac{1}{2k}.[\sqrt{kx(1-kx)}- (1-2kx).arcsin(\sqrt{kx}) ]

Une primitive trouvée, on a alors facilement l'intégrale en y introduisant les 2 bornes d'intégration.
-----
Il reste encore à trouver une primitive d'une fonction de la forme sin(4.arcsin(V(kx)) ...
-----
Sauf distraction.


Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : volume dans un cylindre couché incliné 18-01-05 à 17:04

Encore un petit effort (de ma part).

Pour la partie qui peut se mettre sous la forme:
\int sin(4.arcsin(\sqrt{kx}))dx

Poser 4.arcsin(V(kx)) = y
-> Vx = (1/Vk).sin(y/4)

(1/4).cos(y/4).dy = (Vk/(2Vx))dx
(1/(2k)).cos(y/4).sin(y/4) dy = dx

\int sin(4.arcsin(\sqrt{kx}))dx = \frac{1}{4k}.cos(y/2).sin^2(y/2) dy = \frac{1}{3k}sin^3(y/2)

\int sin(4.arcsin(\sqrt{kx}))dx = \frac{1}{3k}.sin^3(2arcsin(\sqrt{kx}))

Il reste à rassembler les morceaux et à vérifier mes calculs.
-----
Sauf distraction.  


Posté par raulic (invité)petite erreur il me semble 18-01-05 à 17:49

Merci pour ton aide, jusque là en vérifiant tes calculs il n'y avait pas de problème mais dans ta dernière réponse je crois qu'il y a une erreur de coefficient:

Dans ton avant dernière ligne de calcul, ne serait-ce pas 1/2k cos(y/2)sin²(y/2)dy au lieu de 1/4k cos(y/2)sin²(y/2)dy.

en effet tu as (1/(2k)).cos(y/4).sin(y/4) dy = dx

grace a sin(2a)= 2 sin a . cos a
tu transforme cos(y/4).sin(y/4) en  1/2 sin(y/2)
et tu transforme siny en 2 sin(y/2) cos(y/2)

de là tu as 1/2k * 2 * 1/2 =1/(2k)

peux tu me confirmer ce résultat

Merci d'avance

Raulic

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : volume dans un cylindre couché incliné 18-01-05 à 18:39

Oui, j'ai tapé sur une mauvaise touche, mais plus loin la solution était correcte, je pense.

\int sin(4.arcsin(\sqrt{kx}))dx =\int \frac{1}{2k}.cos(y/2).sin^2(y/2) dy = \frac{1}{3k}sin^3(y/2) = ...
-----







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