Niveau terminale

volume demi-sphère

Posté par zaz51 (invité) 12-02-05 à 17:10

Voilà un exo de DM. Il est vraiment difficile: ça fait au moins 3 heures que je planche dessus et j'en suis encore à la 1ère question! Bon courage et merci d'avance.

On se propose de calculer le volume d'une demi-sphère de rayon R.On partage l'intervalle [O;R] de l'axe des ordonnées en n intervalles de même longueur R/n (avec n 1) et on considère deux types de cylindres: ceux contenus dans la demi-sphère et ceux contenant la demi-sphère.
En unité de volume, Un est le volume total des cylindres contenus dans la demi-sphère et Vn est le volume total des cylindres contenant la demi-sphère.

1-Calcul de Un
a)Démontrer que le volume du k-ième cylindre intérieur est  (n²-k²)( R^{[/sup]3/n[sup]}3 )
b)En déduire l'égalité:
     Un=( R^{[/sup]3/n[sup]}3)((n²-1²)+(n²-2²)+...+(n²-(n-1)²))
c)En utilisant l'égalité:
     1²+2²+...+n²=(n(n+1)(2n+1))/6
  Démontrer que: Un= R^{[/sup]3(4n²-3n-1)/(6n²)

2-Calcul de Vn

Démontrer que:  Vn= R[sup]}3(4n²+3n-1)/(6n²)
3-Démontrer que U et V sont des suites adjacentes. En déduire le volume de la demi-sphère, puis de la sphère de rayon R.

Posté par re : volume demi-sphère 13-02-05 à 11:04

Bonjour,

1) a/

Soit $r_{in}$ le rayon de la base du cylindre intérieur en position k

On a $r_{in}=\frac{kR}{n}$

La base du cylindre intérieur a une surface $s_{in}=\pi*r_{in}^2$

La hauteur du cylindre intérieur est $h_{in}$ telle que d'après Pythagore $h_{in}^2=R^2-r_{in}^2$

Le volume du cylindre intérieur $v_{in}=s_{in}*h_{in}$

Soit $v_{in}=\pi*\frac{k^2*R^3}{n^3}*\sqrt{n^2-k^2}$

Ce qui n'est pas la formule indiquée par l'énoncé

Il y a donc quelque chose qui m'a échappé

Et pour toi?

Pour le cylindre extérieur on remplace $h_{in}$ par $h_{en}$ tel que $h_{en}=R$

A bientôt

Posté par zaz51 (invité)volume demi-sphère 13-02-05 à 16:21

Merci beaucoup de m'avoir répondu. J'en étais au même point et je ne comprends pas pourquoi la formule finale est différente.
Je vais essayer d'y réfléchir encore et j'envoie mon résultat.(si je trouve quelque chose!)

Posté par zaz51 (invité)volume demi-sphère 13-02-05 à 17:08

Me revoilà! J'ai retravaillé la 1ère question et en fait, je ne comprends pas le résultat pour le volume du cylindre intérieur. Comment passe-t-on de (R²-r[sup][/sup]in²) à (n²-k²) ?
Merci

Posté par re : volume demi-sphère 13-02-05 à 20:07

Bonsoir,

1) a) En fait je n'ai pas pris les bons cylindres.

Ceux qu'on doit considérer ont tous la même hauteur $\frac{R}{n}$

Dans ce cas leur base circulaire a un rayon qui d'après Pythagore vérifie $r_k_{in}^2=R^2-(\frac{kR}{n})^2$

Leur volume est donc $\pi*R^2-(\frac{kR}{n})^2)*\frac{R}{n}$

qui est donc bien $\pi*(\frac{R^3}{n^3}*(n^2-k^2)$

b/ On en déduit, après avoir découpé la demi-sphére en n-1 cylindres intérieurs que $U_n=\pi*\frac{R^3}{n^3}*[(n^2-1^2)+(n^2-2^2)+...+(n^2-k^2)+...+(n^2-(n-1)^2)]$

c/ La somme entre crochets vaut $(n-1)*n^2 -(1^2+2^2+...+k^2+...+(n-1)^2)$

En appliquant la formule fournie à la somme entre parenthèses, celle-ci vaut : $\frac{(n-1)*n*(2n-1)}{6}$

On peut donc n-1 en facteur dans la somme erntre crochets càd $(n-1)*(n^2-(\frac{n*(2n-1)}{6}))$

De la sorte on arrive à $U_n=\frac{\pi*R^3*(4n^2-3n-1)}{6n^2}$

2) Les cylindres extérieurs ont tous une hauteur $\frac{R}{n}$ , en fait celle des cylindres intérieurs.

Le rayon de base circulaire du cylindre k est tel que :

$r_k^2=R^2-\frac{((k-1)*R)^2}{n^2}$

Le volume total $V_n$ va s'exprimer par :

$V_n=\pi*\frac{R^3}{n^3}*[(n-1)*n^2-(1^2+2^2+...+k^2+...+(n-2)^2)]$

La somme entre parenthèses vaut alors $\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}$

Ce qui doit permettre d'arriver à la formule de l'énoncé.

3) Excuses mais j'ai oublié ce que sont 2 suites adjacentes si ce n'est qu'on peut utiliser une suite pour encadrer l'autre.

Le volume de la demi-sphère peut être approximé par $\frac{U_n+V_n}{2}$ et donc le volume de la sphère par $U_n+V_n$

Bon courage pour reprendre et compléter les calculs

Posté par zaz51 (invité)re: volume demi-sphère 13-02-05 à 20:43

Bonsoir,
Merci infiniment pour les raisonnements. J'avais repris la question 1 entretemps et y étais arrivé.
Pour la suite, je vais la travailler un peu plus. Je reviendrais sûrement pour d'autres explications, alors, à plus tard!

Posté par zaz51 (invité)re: volume demi-sphère 14-02-05 à 09:00

Bonjour,
je n'ai pas eu le temps de reprendre tout l'exercice mais juste pour information, voilà la définition des suites adjacentes:
Deux suites sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et que la limite de leur différence vaut 0.
A bientôt!

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