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Volume du tétraèdre
Bonjour,
Je recherche la démonstration du volume d'un tétraèdre ABCD à l'aide du produit vectoriel et du produit scalaire.
Je sais que V = 1/3 * (Aire de ABC) * (distance du point D au plan ABC)
= 1/3 * 1/2 * ||produit vectoriel du vecteur AB par AC|| * |AD.u|/||u|| où u est un vecteur normal au plan ABC.
Mais après, je ne vois pas comment arriver au résultat :
V = 1/6 * |(produit vectoriel de AB par AC) scalaire vecteur AD |.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci
Nico
ps : je suis désolé de ne pouvoir taper ce texte avec une écriture plus mathématique mais je ne sais pas faire les vecteurs, ni les produits vectoriels avec Latex.
Bonjour Nico86
Une méthode serait d'expliciter les produits scalaires en faisant intervenir des angles.
Kaiser
J'oubliais :
vecteur en : \vec{}
produit vectoriel en : \wedge
Par exemple :
s'écrit \vec{AB}\wedge \vec{AC}.
Kaiser
Ou alors, si on ne veut pas d'angle, on peut toujours faire intervenir le point H, projeté du point D sur le plan contenant le triangle ABC.
En fait, je crois que je l'ai. Dis-moi si c'est juste :
En développant là où j'avais arrêté mon raisonnement, j'obtiens :
En développant le résultat que je cherche à démontrer, j'obtiens :
.
Or et
sont colinéaires, donc j'ai bien le résultat voulu.
Je te remercie pour ton aide.
Nico
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