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Volume du tétraèdre ABCD
Bonjour, je suis bloqué par ce sujet là:
Dans un repère orthonormal: A(1,-1,3), B(0,2,-4), C(-1,0,1), D(3,4,5)
Calculer le volume du tétraède ABCD.
comment je dois faire pour réussir à le calculer?
Merci beaucoup !!
bonjour! je sais que pour trouver le volume c'est V=1/3 x aire de la base x hauteur mais j'avais pas trop compris comment on fait avec des coordonnées.
Oui c'est facile les maths la magie hein ? 
Eh bien, tu sais calculer la distance entre 2 points de l'espace ?
Pour A = (x1, y1, z1) B = (x2, y2, z2), la distance AB c'est la la racine de [ (x1 - x2)² + (y1 - y2)² + (z1 - z2)² ]
Il faut choisir une base et une hauteur à ton tétraèdre, on va prendre ABC comme base, et D le sommet duquel sera issue la hauteur. (B étant le point le plus haut, ça me paraît le plus intuitif, mais ça n'a pas d'importance).
Quelle est donc l'aire de la base (ABC) du tétraèdre ? c'est b*h/2. La base du triangle, c'est un des côtés, que tu dois savoir calculer facilement. Que vaut la hauteur ?
Tu n'as pas cours demain 
comme la base est ABC du coup je pense que AB c'est la base qui vaut √59 et l'hauteur ça sera du coup AC qui vaut √9. donc c'est AB*AC/2 = (√59*√9)/2 = 3√59/2
je ne suis pas sûr de moi 
Bonjour,
Le triangle ABC n'est pas rectangle. Calculer la longueur de la hauteur issue de C n'est pas facile.
Tu écris "comme la base est ABC". Or un tétraèdre a plusieurs faces.
En choisir une qui est un triangle rectangle serait plus pratique.
Dans ce but, écris les coordonnées des vecteurs AB, AC, BC et CD en espérant trouver 2 vecteurs parmi eux qui sont orthogonaux.
PS Il n'y avait pas d'autres questions avant ?
Bonjour à tous,
J'avais fait quelques calculs : pour les triangles rectangles, c'est cuit; il n'y en a aucun.
bonjour, oui on a déjà vu mais comme on avait fait cela en distanciel j'avais pas trop compris comment ça marche
ah...voilà peut-être une piste
une idée : serait de calculer la norme du produit vectoriel des vecteurs AC et AB par exemple
cela donne le double de l'aire du triangle ABC
puis on cherche la hauteur issue de D(sur le plan (ABC) ) : distance d'un point à un plan parfaitement défini
et on obtiendrait le volume de ce tétraèdre
qu'en pensent les autres intervenants ?
edit
Une erreur de calcul dans un des vecteurs 
Pas de triangle rectangle.
Merci lake de l'avoir signalé 
Le produit vectoriel semble donc l'outil le plus adapté.
Je vous laisse poursuivre dans cette direction.
nikoi, regarde là pour calculer un produit vectoriel (il y a une animation qui te montre comment faire sur ton papier)
Oui malou, je suis pour
En rectifiant la coquille : Avec les vecteurs AC et AB, on trouve le double de l'aire du triangle ABC.
Et ça a l'avantage d'être en cohérence avec la piste de NoPseudoDispo.
malou > ha...j'avais rectifié la coquille, donc je vais remodifier pour être conforme à ce que tu écris là
J'avais fait les calculs par deux méthodes:
1) Aire du triangle avec la formule
A l'aide du produit scalaire pour en déduire
pour obtenir enfin le sinus et l'aire.
Puis la distance du point au plan
avec une équation cartésienne de ce plan.
2) Avec un calcul de déterminant 3 x 3 (presque immédiat). Mais pas adapté ici.
Dans les deux cas et pour vérification :
Moi j'étais nul en géométrie je trouve que ma méthode est la plus simple On apprend le produit vectoriel au lycée ?
La hauteur du triangle ABC issue de B c'est, avec H le projeté orthogonale de B sur AC, BH. En fait la hauteur issue de B c'est le distance de AC à B...
Comme on connait les point A et C, on connaît l'équation de la droite (AC), de là on peut en déduire les coordonnées de H à partir des 2 info qu'on a sur lui : BH scalaire AB = 0 et H appartient à (AC). On connaîtra donc la distance BH. Qu'on multipliera par la longueur du segment [AC] pour obtenir l'aire, en unité d'aire, du triangle ABC
Et rebelote pour calculer la hauteur du tétraèdre
Comme on connait les point A et C, on connaît l'équation de la droite (AC),
nous sommes en dimension 3...une droite admet un système d'équations cartésiennes, ou un système d'équations paramétriques
Oui pardon, j'étais nul en géométrie... Et on n'en bouffe pas par la suite alors en vrai je suis resté nul 
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