Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

volume et surface d'une sphere

Posté par
cosmoff
21-08-17 à 20:42

Bonjour,

je cherche à retrouver les formules du volume et de la surface d'une sphère via les intégrales.

pour le volume, je somme un disque de surface \Pi *(R²-z²) que je multiplie par une hauteur infinitésimal dz :
2*\int_{0}^{R}{\Pi *(R²-z²)*dz}
avec R le rayon, z la hauteur entre le centre de la sphere et le rayon.
\Pi *(R²-z²) représente le rayon du disque au carré en fonction de la hauteur  via du théorème de pythagore.

Avec cette méthode j'obtiens bien le volume de la sphere \frac{4*\Pi *r^3}{3}.

Je fais donc la meme démarche pour le calcul de la surface, sauf que je prend la circonférence d'un cercle et non d'un disque :
2*\int_{0}^{R}{\Pi * \sqrt{R²-z²}*dz} = 4\Pi *\left[ \frac{z}{2} * \sqrt{R²-z²} + \frac{R²}{2}* atan(\frac{z}{\sqrt{R²-z²}})\right] (avec les bornes entre 0 et R)

probleme le résultat que j'obtiens est \Pi ²*R²

Posté par
cosmoff
re : volume et surface d'une sphere 21-08-17 à 20:42

merci d'avance pour votre aide

Posté par
Priam
re : volume et surface d'une sphere 21-08-17 à 22:24

Cela tient au fait que la surface latérale de la tranche d'épaisseur  dz  n'est pas cylindrique, mais conique. Il faut donc remplacer, dans l'intégrale,  dz  par  dz/cos , étant le demi-angle au sommet du cône tangent à la sphère et contenant cette surface latérale conique.

Posté par
cosmoff
re : volume et surface d'une sphere 22-08-17 à 13:34

dz étant infinitésimal, on a  pas du tout besoin de se préoccuper de la courbure de la sphère parcontre je prend bien en compte la courbure de la sphere avec \sqrt{R²-z²}

Posté par
Priam
re : volume et surface d'une sphere 22-08-17 à 18:11

A ce sujet, tu pourrais consulter par Google " aire de la sphère par intégration / sphère - Villemin gerard ".

Posté par
cosmoff
re : volume et surface d'une sphere 22-08-17 à 21:17

Merci Priam pour tes réponses. Il faut donc se soucier de la courbure, mais pourtant  au lycée lorsque je calculais une aire, je faisais \int_{a}^{b}{} f(x)dx, et on ne se souciais absolument pas de la courbure de la fonction f(x), pourquoi ici c'est necessaire

Posté par
Priam
re : volume et surface d'une sphere 23-08-17 à 10:09

Les situations ne sont pas les mêmes.
Tu évoques dans ton dernier message le calcul d'une aire plane limitée par la courbe représentative d'une fonction  f  par sommation d'aires élémentaires, celles de petits rectangles de côtés  dx  et  f(x) .
Il faut voir que, si l'on modifiait le côté d'un rectangle pour l'amener à épouser la courbe, cela ne changerait son aire que de façon infinitésimale et négligeable, le résultat final restant inchangé.
Dans le cas de l'aire de la sphère, l'aire élémentaire est celle d'un anneau d'épaisseur  dz  et de forme tronconique.
En multipliant simplement par  dz  la longueur  L(z)  de l'anneau, on obtient l'aire d'un anneau cylindrique et non tronconique, ce qui change la valeur de l'aire de l'anneau dans un rapport égal à cos , ainsi que le résultat final dans le même rapport.

Posté par
cosmoff
re : volume et surface d'une sphere 23-08-17 à 11:54

Ok j'ai compris ce que tu viens de me dire, mais je suis encore bloqué sur un point.
Pour calculer le volume de ma boule j'ai utilisé le meme procédé :
2*\int_{0}^{R}{\Pi *(R²-z²)*dz} et j'obtiens bien comme résultat la formule \frac{4*\Pi *R^{3}}{3} alors que je ne prend pas en compte la forme tronconique de ma boule. Donc si je suis ton raisonnement le fait de ne pas prendre en compte la forme tronconique de ma boule ne devrait pas me donner la bonne valeur du volume alors qu'ici oui, pourquoi?

Posté par
Glapion Moderateur
re : volume et surface d'une sphere 23-08-17 à 12:03

Sinon il y a une façon simple de voir les choses puisque tu sais déjà que le volume vaut V(r)=(4/3)r3

si on somme les volumes des pelures d'oignon entre r et r+dr (qui valent S(r)dr si S(r) est la surface à la distance r) , on doit obtenir le volume total donc on peut écrire :
V(R) = \int_0^R S(r)dr et donc en dérivant V'(R) = S(R)

si V(R) = (4/3)R3 on en déduit S(R) = 4

Posté par
cosmoff
re : volume et surface d'une sphere 23-08-17 à 15:02

merci Glapion pour ta réponse, mais mon principale probleme et pourquoi ma méthode ne fonctionne pas.

Posté par
Priam
re : volume et surface d'une sphere 23-08-17 à 15:10

@ cosmoff
Pour le calcul du volume de la sphère, la tranche d'épaisseur  dz  a bien la forme d'un tronc de cône plein, dont le volume peut être assimilé au volume d'une tranche cylindrique de même rayon sans que cela influe sur le résultat final.

Posté par
cosmoff
re : volume et surface d'une sphere 23-08-17 à 15:28

Je n'ai pas compris ton raisonnement  car  je fais \Pi *R² (ce qui représente la surface d'une disque), et je la multiplie par une droite infinitésimale (dz), j'obtiens alors une tranche cylindrique.  

Posté par
Priam
re : volume et surface d'une sphere 23-08-17 à 15:47

Oui.
la tranche de la sphère découpée par deux plans sécants distants de  dz  est limitée par une bande découpée dans la surface extérieure de la sphère suivant un parallèle. Cette tranche est assimilable à une tranche tronconique, elle même assimilable, quant au volume, à une tranche cylindrique.

Posté par
carpediem
re : volume et surface d'une sphere 23-08-17 à 16:01

salut

effectuons proprement le changement de variable de cartésiennes à cylindrique

x = r \cos t
y = r \sin t
z^2 = R^2 - r^2

dS_z = rdr dt

\int_{x^2 + y^2 + z^2 = R^2} zdS_z = 2 \int_0^R \int_{-\pi}^{\pi} r \sqrt {R^2 - r^2} dr dt = -\dfrac 1 2 \dfrac 2 3 2 \int_0^R -2r \dfrac 3 2 \sqrt {R^2 - r^2} dr \int_{-\pi}^{\pi} dt = -\dfrac 4 3 \pi [(R^2 - r^2)^{3/2}]_0^R = - \dfrac 4 3 \pi (0 - R^2) = \dfrac 4 3 \pi R^2



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !