Bonjour,
je cherche à retrouver les formules du volume et de la surface d'une sphère via les intégrales.
pour le volume, je somme un disque de surface que je multiplie par une hauteur infinitésimal dz :
avec R le rayon, z la hauteur entre le centre de la sphere et le rayon.
représente le rayon du disque au carré en fonction de la hauteur via du théorème de pythagore.
Avec cette méthode j'obtiens bien le volume de la sphere .
Je fais donc la meme démarche pour le calcul de la surface, sauf que je prend la circonférence d'un cercle et non d'un disque :
= (avec les bornes entre 0 et R)
probleme le résultat que j'obtiens est
Cela tient au fait que la surface latérale de la tranche d'épaisseur dz n'est pas cylindrique, mais conique. Il faut donc remplacer, dans l'intégrale, dz par dz/cos , étant le demi-angle au sommet du cône tangent à la sphère et contenant cette surface latérale conique.
dz étant infinitésimal, on a pas du tout besoin de se préoccuper de la courbure de la sphère parcontre je prend bien en compte la courbure de la sphere avec
A ce sujet, tu pourrais consulter par Google " aire de la sphère par intégration / sphère - Villemin gerard ".
Merci Priam pour tes réponses. Il faut donc se soucier de la courbure, mais pourtant au lycée lorsque je calculais une aire, je faisais , et on ne se souciais absolument pas de la courbure de la fonction f(x), pourquoi ici c'est necessaire
Les situations ne sont pas les mêmes.
Tu évoques dans ton dernier message le calcul d'une aire plane limitée par la courbe représentative d'une fonction f par sommation d'aires élémentaires, celles de petits rectangles de côtés dx et f(x) .
Il faut voir que, si l'on modifiait le côté d'un rectangle pour l'amener à épouser la courbe, cela ne changerait son aire que de façon infinitésimale et négligeable, le résultat final restant inchangé.
Dans le cas de l'aire de la sphère, l'aire élémentaire est celle d'un anneau d'épaisseur dz et de forme tronconique.
En multipliant simplement par dz la longueur L(z) de l'anneau, on obtient l'aire d'un anneau cylindrique et non tronconique, ce qui change la valeur de l'aire de l'anneau dans un rapport égal à cos , ainsi que le résultat final dans le même rapport.
Ok j'ai compris ce que tu viens de me dire, mais je suis encore bloqué sur un point.
Pour calculer le volume de ma boule j'ai utilisé le meme procédé :
et j'obtiens bien comme résultat la formule alors que je ne prend pas en compte la forme tronconique de ma boule. Donc si je suis ton raisonnement le fait de ne pas prendre en compte la forme tronconique de ma boule ne devrait pas me donner la bonne valeur du volume alors qu'ici oui, pourquoi?
Sinon il y a une façon simple de voir les choses puisque tu sais déjà que le volume vaut V(r)=(4/3)r3
si on somme les volumes des pelures d'oignon entre r et r+dr (qui valent S(r)dr si S(r) est la surface à la distance r) , on doit obtenir le volume total donc on peut écrire :
et donc en dérivant V'(R) = S(R)
si V(R) = (4/3)R3 on en déduit S(R) = 4R²
merci Glapion pour ta réponse, mais mon principale probleme et pourquoi ma méthode ne fonctionne pas.
@ cosmoff
Pour le calcul du volume de la sphère, la tranche d'épaisseur dz a bien la forme d'un tronc de cône plein, dont le volume peut être assimilé au volume d'une tranche cylindrique de même rayon sans que cela influe sur le résultat final.
Je n'ai pas compris ton raisonnement car je fais (ce qui représente la surface d'une disque), et je la multiplie par une droite infinitésimale (dz), j'obtiens alors une tranche cylindrique.
Oui.
la tranche de la sphère découpée par deux plans sécants distants de dz est limitée par une bande découpée dans la surface extérieure de la sphère suivant un parallèle. Cette tranche est assimilable à une tranche tronconique, elle même assimilable, quant au volume, à une tranche cylindrique.
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