Niveau Licence-pas de math

volume immergé d'une sphère

Posté par
ocean30 22-01-24 à 18:09

Bonjour,

je cherche à calculer le volume immergé d'une sphère flottante de rayon R. La hauteur immergée fait 3/4 du diamètre.
J'essaye de passer par les coordonnées sphériques.

Donc cela donne $V=\int_{0}^{2\pi }{}\int_{0}^{R }{}\int_{\frac{\pi }{3}}^{\pi}{r²sin(\theta )drd\theta d\varphi }$

Et je trouve $V=\pi R^{3}$

Or il faut trouver $V=\frac{9}{8} \pi R^{3}$

Je n'arrive pas à voir mon erreur. La ligne de flottaison est à 1/2 du rayon en partant du haut ce qui me donne un angle de départ de pi/3 pour théta.

Voici la méthode du professeur :

L'élément de volume de la sphère est 𝒅𝑽=𝝅𝒓^𝟐 𝒅𝒛=𝝅(𝑹^𝟐−𝒛^𝟐) (avec 𝑹^𝟐=𝒛^𝟐+𝒓^𝟐 trouvable en posant le théorème de Pythagore). En intégrant entre −𝑹 et 𝑹/𝟐, on obtient comme volume 𝑉 :
$V=\int_{-R}^{R/2}{dV}=\int_{-R}^{R/2}{\pi (R²-z²)dz}=\pi R² (\frac{R}{2}+R) - \pi R²(\frac{R^{3}}{24}+\frac{R^{3}}{3})=\frac{9}{8} \pi R^{3}$

Posté par re : volume immergé d'une sphère 22-01-24 à 18:35

Erratum: il y a un R² en trop à la dernière ligne juste avant la troisième parenthèse.

Posté par re : volume immergé d'une sphère 22-01-24 à 19:26

Bonjour,

L'angle $\theta$ (colatitude) ne varie pas de $\pi/3$ à $\pi$ , mais bien de $0$ à $\pi$ ;
L'ennui c'est que de $0$ à $\pi/3$ , le rayon vecteur ne varie pas de $0$ à $R$ .

Ce que tu calcules c'est le volume immergé de la sphère diminué du volume du tronc de cône de révolution de sommet $O$ et de base le parallèle de rayon $R\sqrt{3}/2$ déterminé sur la sphère par le plan d'équation $z=1/2$

Posté par re : volume immergé d'une sphère 22-01-24 à 19:41

Merci beaucoup pour la réponse je visualise maintenant.

Posté par re : volume immergé d'une sphère 22-01-24 à 19:48

De rien. La formule donnant le volume d'un tronc de cône de révolution est bien connue. Tu pourras vérifier qu'en l'ajoutant tu retrouves bien les $9 \pi R^3/8$