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volume intermédiaire d'une calotte sphérique

Posté par
woodstock 17-12-06 à 02:19

Bonjour à tous,
j'ai besoin de calculer le volume intermédiaire en fonction de la hauteur de liquide d'un bac de stockage; ce bac est constitué d'un cylindre couché (pas sur sa base) et à chaque extrémité d'une calotte sphérique.
Je connais la longueur du cylindre (l), son diamêtre (D) et la longueur totale (L) du bac.
Pour trouver le volume totale du bac je m'en sors:
1-je calcule le volume du cylindre l**D2/4
2-je soustrait la longueur du cylindre à la longueur totale, je divise par 2 le résultat et j'obtient la profondeur de la calotte sphérique ((L-l)/2=P)
3-puis je calcule le volume d'une calotte sphérique (que je multiplirais par 2): *P2 *(3D2 +4P2 )/(24*P)
NB: j'avais cette formule : Volume = pi*P2/3(3R-P) pour la calotte mais il me semble que P est la distance entre le centre de la sphére et la calotte donc pas applicable en l'occurence.

Pour calculer le volume intermédiaire du cylindre avec R=rayon du cylindre et H=hauteur de liquide dans le cylindre :
Volume = l*(*R2 /2 - R2 *arcsin(1-H/R)-(R-H)*(H*(2*R-H)))

MAIS je ne parviens pas à trouver le volume intermédiaire de la calotte sphérique en fonction de la hauteur de liquide.

J'ai bien la formule de calcule de volume intermédiaire d'une sphére mais si je remplace le volume des 2 calottes sphériques par 2 hémisphéres ça fausse de beaucoup le résultat.

Merci d'avance de votre aide

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 17-12-06 à 04:08

Bonjour,

Tu es sur que ces calottes ne sont pas des demi-sphères ? Que valent D et P ?
J'ai commencé à calculer le volume d'une sphère tronquée dans 2 dimensions différentes (profondeur et hauteur de liquide).
Je n'ai pas fini les calculs, mais ce n'est pas très joli...

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 17-12-06 à 05:08

J'arrive à :
\mathcal{V}=\Bigint_{R-h}^R\mathcal{A}(z)\mathrm{d}z
avec \mathcal{A}(z)=(R^2-z^2)\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{arcsin}\left(1-\frac{P}{\sqrt{R^2-z^2}}\right)-\left(1-\frac{P}{\sqrt{R^2-z^2}}\right)\sqrt{1-\left(1-\frac{P}{\sqrt{R^2-z^2}}\right)^2}\right)

Posté par
woodstockre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 17-12-06 à 16:06

Merci Nicolas de ton temps,
malheureusement oui je suis sure que les extrémités du bac ne sont pas des demi-sphères.
Pour te donner un ordre de grandeur, voici les dimensions d'un bac de ce type :
1- partie cylindrique : longueur 4 m, hauteur 2 m (hauteur étant le diamètre)
2-calotte sphérique : diamètre de sa base = diamètre du cylindre soit 2 m, profondeur 0.60 m

Posté par
woodstockre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 17-12-06 à 16:35

A propos Nicolas,
je te précise que ça fait 15 ans que je suis sortie de mon bac pro chimie donc soit indulgent avec mes commentaires.

si je comprends ta formule : z est la hauteur de liquide et A est le volume en fonction de z dans la limite de R-h et de R.
Mais les limites ne devrait-elle pas être 0 et 2R ? car si le bac est plein h = 2R

Je t'avoue que je me souviens plus comment utiliser les intégrales.

C'est ce qu'on appelle la vieillerie ?

Je te rassure je ne te demande pas de me ré-expliquer le cours sur les intégrales mais je veux juste réussir à lire la formule pour l'utiliser dans excel.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 18-12-06 à 00:38

Tes commentaires sont tout à fait pertinents.
Je me suis placé uniquement dans le cas où le liquide n'atteint pas la moitié du récipient. J'aurais dû le préciser.
Donc en fait : \mathcal{V}=\Bigint_{-R}^{-(R-h)}\mathcal{A}(z)\mathrm{d}z
Mais, par symétrie : \mathcal{V}=\Bigint_{R-h}^R\mathcal{A}(z)\mathrm{d}z

Puis-je te demande d'où sort ce problème ?
Est-ce un exercice tiré d'un livre ou un problème réel ?

Nicolas

Posté par
woodstockre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 18-12-06 à 05:56

Bonjour Nicolas,

Ceci est un problème réel.
Voici un petit schéma qui te permettra de mieux de visualiser l'objet.
Je voudrais créer les abaques des bacs de stockage de l'atelier de fabrication où je travaille.

Ils sont de différentes formes mais le volume intermédiaire le plus difficile à calculer est ce fameux bac couché aux extrémités bombés.

Je veux ensuite créer une feuille excel où il me suffira de rentrer les dimensions du bac, le type de mesure de niveau et la densité du liquide pour obtenir la conversion de la hauteur de liquide en masse de liquide.

Comme je te disait précédemment la première difficulté est de réussir à lire ta solution (je verrais demain) puis de l'écrire dans excel correctement, ensuite il faudra que je corrige la hauteur de liquide en mètre par la mesure de niveau du bac qui est exprimé entre 0 et 100 %.

Et juste pour le plaisir (c'est ironique) il faudra que je tienne compte des volumes morts bas et haut qui ne sont pas mesurés car généralement les niveaux sont mesurés par différence de pression entre 2 cannes : la Haute Pression (HP) qui descend au fond du bac mais ne mesure pas les 10/20 derniers centimètres et la Basse Pression (BP) qui mesure la pression du ciel gazeux du bac et qui descend de 10 cm environ.

Merci encore de t'intéresser à mon problème.
Wood

volume intermédiaire d\'une calotte sphérique

Posté par
woodstockBouh j'y arrive pas 19-12-06 à 00:33

Bonjour à tous et surtout à Nicolas,
Nicolas j'ai essayé de me servir de ta solution mais soit ton équation est fausse soit je ne sais pas m'en servir (je penche pour cette dernière).

J'ai essayé de l'écrire dans excel pensant que A = volume et z = hauteur de liquide mais je trouve un résultat farfelu
A tout hasard je note la formule excel :

=(PUISSANCE(C20;2)-PUISSANCE(C21;2))*((PI()/2)-ASIN(1-C19/(RACINE(PUISSANCE(C20;2)-PUISSANCE(C21;2)))) -(1-C19/(RACINE(PUISSANCE(C20;2)-PUISSANCE(C21;2))))*RACINE(1-PUISSANCE((1-C19/(RACINE(PUISSANCE(C20;2)-PUISSANCE(C21;2))));2)))

profondeur C19= 4 dm ; rayon C20= 10 dm ; niveau C21= 9 dm

Ce que je ne comprends pas c'est que plus j'augmente la valeur du niveau plus le résultat baisse !?
Avec ces valeurs je trouve 26.72 litres ce qui est impossible car le volume total de la calotte est de 661 litres et si le niveau est de 9 dm pour un rayon de 10 dm ça représente environ la moitié du volume soit près de 300 litres.
Avec un niveau à 0 dm je trouve 44.73 litres ce qui m'embrouille encore plus.

Je pense que je vais m'accorder une nuit supplémentaire de repos pour me remettre le cerveau en phase.

a+

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 21-12-06 à 18:41

Bonjour woodstock,

Désolé de revenir si tardivement.
Je vais essayer de me repencher sur ce problème.
Mais je ne garantis ni le résultat ni les délais (probablement début janvier).
J'espère que, d'ici là, d'autres viendront à ton aide.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 21-12-06 à 21:37

J'ai refait les calculs.
Je m'étais trompé. Désolé de t'avoir fait perdre du temps.

Reprenons...

Soit H la demi-hauteur de la calotte, c'est-à-dire le rayon de sa base : \fbox{H=1\, m}
Soit P la profondeur (ou largeur) de la calotte : \fbox{P=0,6\, m}
Soit R le rayon de la sphère (virtuelle) qui contient cette calotte.
D'après http://serge.bertorello.free.fr/math/formulaire/formgeo.html :
\fbox{R=\frac{1}{2}\left(\frac{H^2}{P}+P\right)=\frac{17}{15}\simeq 1,13\, m}
Soit h la hauteur d'eau : \fbox{0\le h\le 2H=2\, m}

Soit \mathcal{A}(z) l'aire de la coupe de la calotte par le plan d'altitude z (-H\le z\le H).
Sur cette coupe, la calotte est représentée sur un cercle de rayon \sqrt{R^2-z^2}.
En utilisant la méthode habituelle de calcul de la surface d'une portion de disque par intégration (la fonction est x\mapsto\sqrt{(R^2-z^2)-x^2}) :
\mathcal{A}(z)=2\Bigint_{R-P}^{\sqrt{R^2-z^2}}\sqrt{R^2-z^2-x^2}\mathrm{d}x
On procède au changement de variable x=\sqrt{R^2-z^2}\sin\theta :
\mathcal{A}(z)=2(R^2-z^2)\Bigint_{\arcsin\frac{R-P}{\sqrt{R^2-z^2}}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta\mathrm{d}\theta
Après intégration :
\fbox{\mathcal{A}(z)=(R^2-z^2)\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{R-P}{\sqrt{R^2-z^2}}-\frac{R-P}{\sqrt{R^2-z^2}}\sqrt{1-\frac{(R-P)^2}{R^2-z^2}}\right)}

Donc le volume de la calotte est :
\fbox{\mathcal{V}(h)=\Bigint_{-H}^{-H+h}(R^2-z^2)\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{R-P}{\sqrt{R^2-z^2}}-\frac{R-P}{\sqrt{R^2-z^2}}\sqrt{1-\frac{(R-P)^2}{R^2-z^2}}\right)\mathrm{d}z} avec 0\le h\le 2H

Cette formule semble juste, en raison de la vérification suivante :
Volume de la calotte complète (h=2H) :
a) d'après la formule ci-dessus : \mathcal{V}\simeq 1,05557513162\, m^3 (calcul de l'intégrale par ma calculatrice)
b) d'après les formules usuelles :
http://serge.bertorello.free.fr/math/formulaire/formgeo.html : \mathcal{V}=\frac{\pi P}{6}\left(P^2+3H^2)=\frac{42\pi}{125}\simeq 1,05557513161
http://fr.wikipedia.org/wiki/Volume : \mathcal{V}=\frac{\pi}{3}P^2(3R-P)=\frac{42\pi}{125}\simeq 1,05557513161

Je te suggère de vérifier tout cela.
Si la formule te convient, elle peut suffire pour l'abaque.
L'inconvénient, c'est qu'elle est sous forme intégrale. L'idéal serait d'avoir une formule explicite et directe. Peut-être est-ce possible par le calcul ou par un logiciel de calcul formel.

Sauf erreur !

Cordialement,

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 24-12-06 à 14:50

Sous réserve que cette formule soit bonne...

Je me suis servi de la calculatrice de fonction pour calculer une quarantaine de points.
J'ai obtenu le profil ci-dessous.

Nicolas

volume intermédiaire d\'une calotte sphérique

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 24-12-06 à 15:12

J'ai cherché un polynôme de degré 5 sous la forme
P(h)=a(h-1)^5+b(h-1)^3+c(h-1)+d
approximant cette courbe avec les contraintes :
- P prend la même valeur que V aux trois points h = 0, 1 et 2
- la dérivée de P en 0 et 2 est nulle.
Ces contraintes permettent d'exprimer b, c et d en fonction de a.
J'ai ensuite utilisé un tableur pour optimiser a (en minimisant l'écart entre V et P).
J'obtiens :
P(h)=0,0505621773370971(h-1)^5-0,365018137575844(h-1)^3+0,842243526042047(h-1)+0,527787566 \\
Courbe rose ci-dessous.

On reprendra tout cela plus tard, si le besoin existe toujours.

D'ici là :
Joyeux Noël !

Nicolas

volume intermédiaire d\'une calotte sphérique

Posté par
woodstockre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 01-01-07 à 23:39

Bonjour Nicolas,
bonne année et meilleurs voeux pour 2007

merci pour tes derniers calculs je vais essayer de les appliquer la semaine prochaine.

Posté par
woodstockcalculer le volume intermédiaire d'une ellipsoïde en f(h) 16-01-07 à 20:49

Merci Nicolas pour tout le temps que tu m'a accordé.
Je te donne le résultat de mes recherches.

Malheureusement mon énoncé du problème était faux car ces bacs de stockage sont constitués d'un cylindre couché avec, aux extrémités, de 2 demi-ellipsoïdes.

La question aurait du être : "Comment calculer le volume intermédiaire d'une ellipsoïde en fonction de la hauteur de liquide ?".

Il y a quelques mois tu avais donné la solution à Déborah67 sur le même sujet mais pour un bac vertical avec un fond bombé (ellipsoïdale)  
https://www.ilemaths.net/sujet-calcul-du-volume-d-une-cuve-84491.html

J'ai donc trouvé ma solution sur un site en anglais
http://www.arachnoid.com/tank_volume/index.html
où il illustre un problème de math en prenant l'exemple d'une cuve + il intègre un prog dans sa page pour vérifier les calculs.

Donc il propose cette formule pour calculer le volume intermédiaire de l'ellipsoïde :
L   La longueur de la section cylindrique.
R Le rayon du cylindre et le rayon principal des montures d'embout elliptiques.
r Le rayon mineur des montures d'embout elliptiques.
y La hauteur de liquide dans le réservoir.
e L'excentricité des montures d'embout, égale à r/R.

V= 1/3*e*(3R-y)y2

Pour calculer le volume intermédiaire du cylindre en fonction de sa hauteur il propose :
Volume = L(2acot( 2R/Y-1 )*R2+ (2R-Y)y *(Y-R))

(

Ce qui donne le même résultat que :
Volume = L(R2/2-R2*arcsin(1-Y/R)-(R-Y)* Y*(2*R-Y) )

L'utilisation de ces formules dans excel est aisé ce qui m'a permis de créer plusieurs tableaux (corrigé par la masse volumique, en fonction de l'expression du transmetteur de niveau...)

Merci encore de ton aide car sans tes pistes je serais resté au point-mort.
Sincèrement

Woodstock

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : volume intermédiaire d'une calotte sphérique 23-02-07 à 06:25

Merci de nous avoir tenu au courant de tes recherches.
Je suis ravi si ma modeste contribution a pu être utile.
Cordialement,

Nicolas


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