Alors je diré

12  9   2
1   6   36
18  4   3

Un parmi quelques autres.

ses diviseurs sont 1,2,3,4,6,9,12,18,36
on peut logiquement chercher à remplir le carré pour que chaque produit soit égal à
Ainsi on arrive a ce que 36 soit associé à (6,1) et (3,2) et 1 est associé à (36,6) et (18,12)
On n'a plus qu'a écrire le carré
2   9   12

36   6    1

3   4   18
c'est pas beau mais j'ai essayé de le mettre sous la forme d'une matrice avec latex mais ni \begin{pmatrix} ni \begin{array}{ccc} ne fonctionne donc voila.

|  2 | 36  |  3  |
|  9 |  6  |  4  |
|  12|  1  |  18 |


Toutes les lignes, colonnes et diagonales ont un produit égal à 216!

18  4   3
1  6  36
12  9   2

le produit des termes des diagonales, des lignes ou des colonnes vaut toujours 216.

si quelqu'un veut que je lui explique ma méthode de recherche je lui expliquerais (je me suis basé sur les carrés magiques par somme)

il y a bien sur d'autres solution (par rotation ou échange de lignes ou collones)

PS: le 6 doit toujours être au milieu

Solution :



Explication :
Désignons par P la constante égale au produit des nombres de chaque ligne.
Si on effectue le produit des trois lignes horizontales, on obtient d'où P=216.

Désignons par maintenant par C la valeur de la cellule au centre du carré magique.
Si on effectue le produit des deux diagonales et des deux lignes "médianes" , on obtient le produit de toutes les cases comptées 1 fois à l'exception de la case centrale qui est comptée 4 fois.
       aux symetries près
d'où C=6.
(ça paraît logique mais c'st mieux en le prouvant).

Le produit de deux cases situées de par et d'autre du 6 central fait donc 36.
Si on place le 36 dans un coin du carré, le 1 est nécessairement "diamétralement" opposé. Le produit des deux cases situées sur une ligne portant 36 fait 6. Le 1 ne pouvant être sur cette ligne la seule possibilité est d'avoir une ligne contenant 2,3 et 36.
le 36 ne se trouvant à l'intersection que de 2 lignes, il ne peut être dans un coin du carré. Le 2 et le 3 se situent de part et d'autre du 36 et le reste du carré se remplit naturellement.

Le produit des nombres de chaque ligne, colonne et diagonale est de 216. Les nombres sont placés ainsi:

3-36-2
4--6--9
18-1-12

Alors le produit à obtenir à chaque fois est 216!
Le chiffre central est 6!

Mon carré:    2   36   3
              9    6   4
              12   1   18

12  -  1  -  18

9   -  6  -  4

2   -  36 -  3


36= 2²*3², donc les 9 diviseurs Xi sont de la forme 2exp(ai)*3exp(bi),avec ai et bi prenant comme valeurs 0; 1 et 2.

Soit C la constante produit des nombres de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale.

si on fait le produit des 9 diviseurs, c'est-à- dire le produit des produits des 3 lignes, par exemple, on obtient

C*C*C = Produit Xi, avec i parcourant 1 - 9, soit le produit avec i, j parcourant 0;1;2, des termes 2exp(i)*3exp(j).

On obtient C = 2exp(3)*3exp(3).

Le problème peut donc se traduire par : trouver 2 carrés magiques classiques (donc par addition), comportant 3 fois les termes 0;1;2, avec pour somme 3.

On trouve

2 - 0 - 1          1 - 0 - 2
0 - 1 - 2    et    2 - 1 - 0
1 - 2 - 0          0 - 2 - 1

La case n°x du carré multiplicatif magique contient donc le terme 2 exp(case X du carré 1)* 3 exp(case X du carré 2).

Les diviseurs de 36 sont 1/2/3/4/6/9/12/18/36

Je propose:

3  4 18
36 6 1
2  9 12

Voici ma réponse :

3   4   18
36  6   1
2   9   12

Une possibilité :

18 1 12

4 6 9

3 36 2

Les diviseurs de 36 sont 1;2;3;4;6;9;12;18;36

-------------------
|  12  |   1  |  18  |
-------------------
|   9   |   6   |   4  |
-------------------
|   2   |  36  |   3  |
-------------------

Voilà,  les produits des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales sont tous égaux avec 216 comme résultat.
Désolé si mon carré n'est pas très joli, je savais pas comment faire.

Le produit des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales est égal à 216 .

2     36     3
9     6      4
12    1      18

Bonsoir à tous,

félicitations, que des bonnes réponses pour cette énigme qui apparemment n'était pas assez difficile pour vous.

Merci à franz et à claireCW pour leurs justifications.

Les produits des trois nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chacune des deux diagonales sont égaux à 216.
216 est la constante du plus petit carré magique multiplicatif, découvert par Dudeney.
Ce nombre a la particularité (sans lien avec l'énigme) d'être le plus petit cube somme de trois cubes avec cette belle égalité :
6³ = 3³ + 4³ + 5³.

Je vous donne ci-dessous les huit réponses à cette énigme.
Bonne soirée et encore bravo !!!

12 1 18
-------
9  6   4
-------
2 36 3

Exact, zedetraquer mais.. trop tard : le challenge était terminé