Niveau exercices

vrai ou faux

Posté par
flight 01-05-25 à 14:50

Bonjour
je vous propose l'exercice suivant ;

l'affirmation suivante est elle vraie ?
"le minimum de n lois exponentielles indépendantes de paramètre 𝜆 suit une loi exponentielle de paramètre 𝑛𝜆"

Posté par re : vrai ou faux 01-05-25 à 16:13

Bonjour flight,

Cliquez pour afficher

Posté par re : vrai ou faux 01-05-25 à 17:38

Pour faire le Père Fouettard, je reformulerais l'affirmation ainsi :

Le minimum de $n$ variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de paramètres $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1+\cdots+\lambda_n$ .

Il suffit de s'intéresser au cas de deux variables.

Posté par re : vrai ou faux 01-05-25 à 18:55

Bravo à vous deux

Posté par re : vrai ou faux 02-05-25 à 09:59

Exemple : quelle est l'espérance du temps d'apparition de la première désintégration dans $10^{-12}$ g de carbone 14 (demi-vie=5730 ans) ?

Posté par re : vrai ou faux 04-05-25 à 10:12

Je trouve que l'espérance du temps d'arrivée de la première désintégration est environ 5,7 secondes. Et vous ?

Posté par re : vrai ou faux 04-05-25 à 21:26

Bonjour GBZM,

Pareil, environ 6.1 secondes,
(avec 1 an = 365 jours et nombre d'Avogadro = 6.02214076 × 10²³ mol^-1)

Posté par re : vrai ou faux 04-05-25 à 23:42

La différence est assez importante, tout de même. Voyons.
Paramètre de la loi du temps (en années) de désintégration d'un atome de C14 : $\lambda = \dfrac{\ln 2}{5730}\simeq 1,21\times 10^{-4}$ .
Nombre d'atomes dans $10^{-12}$ g de C14 : $\dfrac{6\times 10^{23}}{14\times 10^{12}}\simeq 4,29\times10^{10}$
Paramètre de la loi du temps d'attente de la première désintégration dans $10^{-12}$ g de C14 : $4,29\times 10^{10} \times 1,21 \times 10^{-4}\simeq 5,18 \times 10 ^{6}$ .
Espérance du temps d'attente en années : $\dfrac 1{5,18}\times 10^6$ . En secondes : $\dfrac {3,15\times 10^7}{5,18}\times 10^6\simeq 6,08$ secondes.
C'est toi qui a vu juste, @mdr_non.