Bonjour, j'aimerais vérifier mes réponses pour l'exercice suivant :

Vrai ou faux ? Soient deux topologies sur ().
(i) Si (X, τ1) est séquentiellement compact, alors (X, τ2) est aussi séquentiellement compact
(ii) Si (X, τ1) est compact, alors (X, τ2) est compact
(iii) Si (X, τ2) est compact, alors (X, τ1) est aussi compact

Je fais la i et la ii d'un coup en me placant dans un espace métrique, prenons [0,1] muni de la distance euclidienne dE et de la distance discrète dD . Alors ([0,1], dE) est séquentiellement compact car compact, mais ([0,1], dD) n'est pas compact en prenant le recouvrement avec des singletons par exemple donc pas séquentiellement compact. Les i et ii sont donc fausses

Pour la iii, c'est vrai car un recouvrement de (X, τ1) par des ouverts  de  τ1 est aussi un recouvrement de X par des ouverts de τ2 donc il en existe un sous-recouvrement fini donc compact.

Qu'en pensez-vous ?
Bonne journée.