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Vrai ou faux : produit de fonctions localement bornée en 0
Salut,
Je dois déterminer si la proposition suivante est vraie ou fausse.
Si f et g sont deux fonctions (dont le domaine est R* et le codomaine est R) localement bornées en 0, alors leur produit f.g est localement borné en 0.
Est-ce que quelqu'un sait comment prouver/infirmer la proposition ?
Merci beaucoup.
Bonjour,
si tu as de l'intuition et que tu penses que c'est faux, tu peux toujours sortir un contre-exemple, ça infirme directement la proposition.
Sinon, tu essayes de démontrer la proposition avec les définitions.
Tu as tenté quelque chose ?
Écris peut-être les définitions d'être localement bornée pour une application, et essaye de voir si tu peux pas bricoler quelque chose.
Bonjour,
si tu as de l'intuition et que tu penses que c'est faux, tu peux toujours sortir un contre-exemple, ça infirme directement la proposition.
Sinon, tu essayes de démontrer la proposition avec les définitions.
Tu as tenté quelque chose ?
Écris peut-être les définitions d'être localement bornée pour une application, et essaye de voir si tu peux pas bricoler quelque chose.
J'ai l'intuition que c'est vrai, mais je ne sais pas comment le démontrer.
Si f est localement bornée en 0, alors il existe M>0 tel que la valeur absolue de f(x) soit inférieure ou égale à M. Même principe si g est localement bornée.
Alors peut-être le produit entre la valeur absolue de f et celle de g est inférieur ou égal à un nouveau M' tel que M' = abs(g)xM.
C'est la seule idée qui me vient à l'esprit, mais je pense qu'elle n'est pas juste/ne démontre rien.
Écris bien les choses avec des quantificateurs et les informations de l'énoncé. Si sont localement bornés en 0, alors il existe ... tel que pour tout .... on ait ... etc
Si sont localement bornées en 0, alors il existe M>0 et
tels que pour tout x appartenant à R*
on ait
et il existe M'>0 et
tels que pour tout x appartenant à R*
on ait
.
Donc on a .
Donc le produit de f et g est localement borné en 0.
Est-ce correct? Je le trouve trop simple pour être vrai et on ne fait pas usage du fait qu'elles sont localement bornées spécifiquement en 0.
Je suppose que tu as voulu écrire le symbole intersection à la place de l'union.
Donc on a
pour x dans quoi ?
Je suppose que tu as voulu écrire le symbole intersection à la place de l'union.
Donc on a
pour x dans quoi ?
Oui, je me suis trompé de symbole.
On a donc
Pour tout x dans [-d,d]\{0} (d = delta, j'ai pas envie de faire du latex ce soir désolé), tu as |f(x)| < M ; pour tout x dans [-d',d']\{0}, tu as |g(x)| < M'.
Ne vois-tu pas une condition sur x afin d'avoir |f(x)g(x)| < M*M' en regroupant les données ?
Pour tout x dans [-d,d]\{0} (d = delta, j'ai pas envie de faire du latex ce soir désolé), tu as |f(x)| < M ; pour tout x dans [-d',d']\{0}, tu as |g(x)| < M'.
Ne vois-tu pas une condition sur x afin d'avoir |f(x)g(x)| < M*M' en regroupant les données ?
x appartient à l'intersection de [-d, d] et [-d', d'] ?
Pour tout x dans [-d,d]\{0} (d = delta, j'ai pas envie de faire du latex ce soir désolé), tu as |f(x)| < M ; pour tout x dans [-d',d']\{0}, tu as |g(x)| < M'.
Ne vois-tu pas une condition sur x afin d'avoir |f(x)g(x)| < M*M' en regroupant les données ?
x appartient à l'intersection de [-d, d] et [-d', d'] ?
Oui, et cette intersection s'écrit aussi sous la forme
Plus généralement s'il existe deux compact K et K' d'intersection non vide sur lesquels f et g respectivement sont bornées alors
Je vois aussi que les fonctions ne sont pas définies en 0 ici, c'est le même principe bien-sûr et ça donne
D'accord, merci.
Alors, avec tout ce qu'on a déterminé au long de ce sujet, je peux déjà affirmer que la proposition est vraie? Ou il me manque quelque chose?
D'accord, merci.
Alors, avec tout ce qu'on a déterminé au long de ce sujet, je peux déjà affirmer que la proposition est vraie? Ou il me manque quelque chose?
As-tu trouvé un
La seule chose qui ne va pas est dans ton premier post. À ton niveau, je te recommande chaudement de ne pas parler de codomaine mais plutôt d'ensemble d'arrivée parce que le codomaine, c'est un peu différent, et tu risques de tomber sur un correcteur qui ne va pas aimer ça
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