Avec toute la bonne volonté du monde, on ne peut pas en quelques lignes, sur un forum, transmettre la sustantifique moelle contenue dans les cours sur les EDO.
Pour répondre avec concision sur l'aspect purement utilitaire du Wronskien dans la résolution des EDO, on peut dire ceci:
Vous savez bien que la solution générale d'une équation différentielle ordinaire du second ordre :
y''+p(x).y'+q(x).y = 0
nécessite deux fonctions indépendantes y1(x) et y2(x) solutions de cette EDO. Alors la solution générale s'écrit :
y(x) = A.y1(x) +B.y2(x) avec A et B constantes d'intégration.
Mais il arrive parfois, pour une EDO récalcitrante, que l'on trouve seulement une fonction y1(x) et que l'on n'arrive pas à trouver une seconde fonction y2(x).
C'est là que le Wronkien apporte une aide précieuse. Voir :
http://mathworld.wolfram.com/Second-OrderOrdinaryDifferentialEquationSecondSolution.html

En ce qui concerne la méthode de variation des constantes :
il s'agit cette fois d'une équa.dif. avec second membre :
y''+p(x).y'+q(x).y = f(x)
On suppose que l'on a préalablement trouvé la solution générale de l'équation sans second membre (dans laquelle f(x) est remplacée par 0 ), soit :
y(x) = A.y1(x) +B.y2(x) avec y1(x) et y2(x) maintenant connues.
Le but est alors de trouver une solution particulière de l'équation initiale, qui ajoutée à ce qui précède donnera la solution générale de l'équation avec second membre.
La méthode consiste à remplacer les constantes A et B par des fonctions inconnues A(x) et B(x) :
y(x) = A(x).y1(x) +B(x).y2(x)
on calcule y' et y'' que l'on reporte dans l'équation initiale (avec second membre).
Après simplifications, on constate que l'on gagne au moins un ordre (l'équation d'ordre 2 devient d'ordre 1, éventuellement directement d'ordre 0). On est donc ramené à un problème plus simple, que l'on peut traiter en répétant la méthode si nécessaire (ce qui conduit mécaniquement à l'ordre 0 :  résultat sous forme d'intégrale).

Merci beaucoup pour ces explications; je me sens soudain moins seule face à mon livre !!!!