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y'=-2y+x² avec P(x)=ax²+bx+c solution de l'équation

Posté par rorom01 (invité) 27-10-06 à 19:48

voila le sujet auquel je bloque depuis un bon moment
on considere les équations différentielles (E) : y'+2y=x2
et (E0) : y'+2y = 0
1) résoudre (E0)
---> la j'ai trouvé "les solutions de l'équation différentielles sont les fonctions fdéfinies sur par f(x)=Ce-2x   C
2)On pose P(x) = ax2+bx+c ; determiner a,b,c pour que P soit solution de (E)

j'ai commencé par modifier l'écriture de (E) : y' = -2y+x²
dans le cas ou x=0
P'(0)=-2P(0)+0
ssi ( 0 + b) = -2(0 + 0 + c ) + 0
ssi b = -2c
ssi b+2c= 0

soit x= 1
P(1) solution de (E)
donc 2a+b =-2a-2b-2c+1
ssi 4a+3b+2c=1

soit x=2
P(2) solution de (E)
donc 4a+b+8a+4b+2c=4
ssi 12a+5b+2c=4

nous obtenons le systeme suivant :
{ b+2c=0
{ 4a+3b+2c=1
{ 12a+5b+2c=4

mais en isolant soit a, b ou c je n'obient jamais le même résultat donc ca va pas

j'ai essayé par déduction de chercher a, b et c et j'ai trouvé que la fonction P(x)=1/2x²-1/2x+1/4
mais je l'ai trouvé " au feeling " et je n'arrive pas à l'obtenir par calcul , pourriez vous m'aidez svp?

Posté par
fusionfroide
re : y'=-2y+x² avec P(x)=ax²+bx+c solution de l'équation 27-10-06 à 19:52

Salut

Tu ne peux pas faire comme tu fais.

On cherche une solution sous la forme 4$P(x)=ax^2+bx+c

Dérive 4$P(x) et remplace dans l'équation différentielle.

Que trouves-tu ?

Posté par rorom01 (invité)re : y'=-2y+x² avec P(x)=ax²+bx+c solution de l'équation 27-10-06 à 19:55

P'(x) = 2ax + b
dans (E)
2ax+b= -2(ax²+bx+c) + x²
(2a+1)x²+2(a+b)x+b+2c=0
ensuite que dois je faire???

Posté par
fusionfroide
re : y'=-2y+x² avec P(x)=ax²+bx+c solution de l'équation 27-10-06 à 20:01

Procède plutôt ainsi :

On a en remplaçant :

4$2ax+b+2ax^2+2bx+2c=x^2

soit :

4$2ax^2+x(2a+2b)+2c=x^2

Et là tu identifie les coeficients des deux polynômes.

On obtient alors le système suivant :

2a=1
2a+2b=0
2c=0

Posté par
fusionfroide
re : y'=-2y+x² avec P(x)=ax²+bx+c solution de l'équation 27-10-06 à 20:02

mince c'est 4$2ax^2+x(2a+2b)+2c+b=x^2

Soit le système :

2a=1
2a+2b=0
2c+b=0

Posté par rorom01 (invité)re : y'=-2y+x² avec P(x)=ax²+bx+c solution de l'équation 27-10-06 à 20:02

a d'acord!!!
jme complique la vie!!!
merci beaucoup c super sympa!!!

Posté par
fusionfroide
re : y'=-2y+x² avec P(x)=ax²+bx+c solution de l'équation 27-10-06 à 20:04

de rien

lis bien mon dernier post



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