1.(ib)est racine de P(z)
<=>P(ib)=0,b appartaenant aR
<=>ib^3-(2+3i)ib²+(4+6i)ib-12i=0
<=>tu resoud ca et tu trouve
<=>2b²-6b-ib²+3ib²+4ib-12i (je me suis peut etre trompe ms le resonnement est bon)
tu fiait ton sysyteme evac la partie imaginaire et la partie reel =0
<=>{2b²-6b=0
       {-ib²+3ib²+4ib-12i=0
et tu trouve la racine
2.je suppose que tu sais le faire tu developpe P(z) (celui avec les lettres
et tu trouve a b c).
3. tu as P(z) ss forme de produit ce n est donc pas dur de le resoudre
( un produit de deus facteurs est nul si au moins un des factuers
est nul) donc 1er facteur=0 ou 2eme facteur =0
4.et pour cette q tu applique ton cours parce que moi je ne le sais plus
( je suis ausi en t et on a eu un DS avec le mm exo resultat? 0/5)
@+

1) un imaginaire pur est de la forme ib ou b est un réel.
on remplace dans P(z):

(ib)^3-(2+3i)(ib)²+(4+6i)(ib)-12i=0
-ib^3+2b²+3ib²+4ib-6b-12i=0
(2b²-6b)+i(-b^3+3b²+4b-12)=0
d'ou 2b²-6b=O
et -b^3+3b²+4b-12=0

b=O ou b=3
b=O ne va dans dans la seconde eqution par contre 3 convient
la solution est donc

Z=3i

2) on peut ecrire
P(z)=(z-3i)(az²+bz+c)
tu developpe identiif terme a terme et tu auras a et b et c

P(z)=O
ssi z=3i ou si le polynome de degre 2 s'annule
ca polynome a deux solutions que tu trouve en faisant
delta=b²-4ac et etc...

4) tu ecris les solution sous la forme
Z=Ae(ix)
par exemple
z=3i=3e(i pi/2)

A+

1)

Soit z = bi la solution complexe.

(bi)³ - (2+3i)(bi)² + (4+6i)bi - 12i = 0
-b³i + 2b² + 3b²i + 4bi - 6b - 12i = 0
2b² - 6b + i(-b³ + 3b² + 4b - 12) = 0

Il faut donc:
2b² - 6b = 0
-b³ + 3b² + 4b - 12 = 0

2b² - 6b = 0
2b(b - 3) = 0
b = 0 -> à rejeter sinon z = 0 et n'est pas imaginaire.
b = 3.

Il faut vérifier si b = 3 satisfait -b³ + 3b² + 4b - 12 = 0.
-27 + 27 + 12 - 12 = 0 -> OK

z = 3i est solution de P(z) = 0.
---
2)
Diviser z³-(2+3i)z²+(4+6i)z- (12i)  pzr z - 3i, on trouve: z²-2z+4 comme
quotient.

->
P(z) = (z - 3i)(z² - 2z + 4)
---
3)

p(z) = 0 aussi pour z² - 2z + 4 = 0
z = 1 +/- V(1-4)
z = 1 +/- i.V3

Les solutions de P(z) = 0 sont donc:
z = 3i
z = 1 - i.V3
z = 1 + i.V3
---
4)
z = 3.(cos(Pi/2) + i.sin(Pi/2))

z = 2.(cos(5Pi/3) + i.sin(5Pi/3))

z = 2.(cos(Pi/3) + i.sin(Pi/3))
-----
Sauf distraction.

Désolé  guillaume, je n'avais pas vu ta réponse en envoyant
la mienne.

Petite remarque, pour la 4 tu as donné la forme exponentielle alors qu'on
demande la forme trigonométrique

A+

Salut JP,

Il n'y a pas de mal !
Bien au contraire, ca fait plaisir de "colaborer". J'ai vu à plusieurs
reprises que nous avions un peu le même rôle sur ce forum, toute
modestie gardée bien evidemment

Autant pour moi pour l'erreur en 4), il est vrai que mes réponses sont
parfois un peu emportées.


A la revoyure!
guillaume.