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Niveau Maths sup
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z n est pas une racine nieme de l unite

Posté par
Carl78
12-10-20 à 12:00

bonjour
soit z =(2+i)/(2-i)
je dois montrer que ce n est pas une racine n ieme de l unite.
Voila ce que j'ai fait
être une racine n-ieme c'est de l existence (il existe un n entier naturel non nul tq z^n=1) donc ne pas l'être est (pour tout n entier naturel non nul tq z^n != 1) j'ai essayé recurrence heredite me semble louche. Puis j'ai changé de mode de vue en essayant par l'absurde etant donne que (z^n=1 implique que |z|=1 et z = e^i@ avec n@ congrue a 0 [2pi]
ici |z|=(racine de 5)/(racine de 5)=1
mais je bloque pr la deuxieme partie.
Rien ne marche pls help

Posté par
manu_du_40
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 12:24

Bonjour.

Peut-être pourrais tu exploiter le fait que z s'écrit z=\dfrac{Z}{\overline{Z}}  et ensuite élever à la puissance n ?

Posté par
Carl78
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 14:02

soit z^n égal (re^i@)^n (z bar)^n egal (re^-i@)^n egalite des modules egalite des arguments ca ne marche pas

Posté par
lionel52
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 15:16

Hello ! Est ce que la question est seule ou alors il y a un sujet avant? Ca a l'air compliqué

Posté par
XZ19
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 16:56

Bonjour  
Voici  quelques indications pour résoudre ce problème:
Z  est de module 1 et d'argument arctan(4/3)
l'existence d'un  entier   z^n=1     implique  l'existence d'un rationnel  p/q tel que arctan(4/3)= p/q  \pi  et donc  d'un  entier  m  tel que cos(m   arctan(4/3))=1.    


On considère  alors la suite  u_m=2 cos(m   arctan(4/3))

1.  vérifier  que    u_1=6/5

2.  Etablir  une relation entre   u_{m+1},u_{m-1}  et u_m

3.  En déduire que est de la forme  u_m=P_m(u_1)  où  $P_m$  est  un polynôme unitaire à coeff. entiers.

4.   Obtenir une contradiction.

Posté par
Carl78
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 19:40

il doit surement etre possible de resoudre cela de cette facon mais ca m etonnerait que ce soit la plus simple a mon niveau car nous n avons pas encore fait le chapitre de suite niveau sup donc il doit y avoir une autre maniere je pense.

Posté par
XZ19
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 20:43

Je  ne connais pas  le niveau "sup"  mais  je n'utilise  que  des notions élémentaires  
i.e complexe,  une formule de trigo  et un petit résultat sur  la divisibilité.  
Autrement dit c'est une démonstration qu'un élève de terminale  peut comprendre  sauf que pour la trouver c'est pas évident.
Je ne vois pas de solution simple  à ce problème.  

Posté par
carpediem
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 21:02

salut

z est une racine n-ième de l'unité  \iff \exists n \in \N  :  z^n = 1 \iff (2 + i)^n = (2 - i)^n \iff \sum_0^n {n \choose k}2^k i^{n - k} = \sum_0^n {n \choose k} 2^k (-i)^{n - k} \iff \sum_0^n \left[ {n \choose k}2^k (i^{n - k} - (-i)^{n -k}) \right] = 0

la dernière étape n'est peut-être pas nécessaire ...

étape (encore peut-être pas nécessaire ) : on distingue les cas n pairs et n impairs

étape nécessaire : on somme sur les k pairs et sur les k impairs pour faire apparaitre les parties réelles et imaginaires et on montre qu'il n'y a jamais égalité (avant dernière étape) ou qu'elles ne sont jamais simultanément nulles (dernière étape)

fastidieux et calculatoire ... mais on doit y arriver ...

Posté par
XZ19
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 21:32

@Carpediem   le cas n  est impair  c'est immédiat   OK.  

Mais le cas n  pair , je ne vois pas comment  on  y arrive.  

Posté par
Carl78
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 21:34

c est exactement ce que j ai fait au brouillon mais avec k pair et k impair je vois bien que le produit ne pourra jamais etre nul car aucun des termes ne s annulent mais je ne trouve pas de maniere de le demontrer par ecrit je manque encore de methodes merci malgre tout pour ton aide je vais rendre l ebauche de mon travail et je demanderai a ma prof de m expliquer en detail demain

Posté par
XZ19
re : z n est pas une racine nieme de l unite 12-10-20 à 21:50

??

Posté par
mousse42
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 04:03

Bonsoir,

Il faut partir de (2+i)^n=(2-i)^n et on a aussi (2+i)=(2-i)+2i

Donc (2+i)^n=[(2-i)+2i]^n=(2-i)^n+C^1_n(2-i)^{n-1}2i+\cdots

Tu développes pour ensuite déduire une expression de (2i)^n et tu trouveras une contradiction...

Posté par
carpediem
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 09:09

ok pour le cas impair qui est immédiat ...

posons n = 2p

\sum_0^n {n \choose k} 2^k i^{n - p} = \sum_0^p 4^k(-1)^{p - k} - i \sum_0^{p - 1} 2^{2k + 1} (-1)^{p - k}

\sum_0^n {n \choose k} 2^k (-i)^{n - k} = \sum_0^p 4^k(-1)^{p - k} + i \sum_0^{p - 1} 2^{2k + 1} (-1)^{p - k}

en espérant ne pas avoir fait d'erreur ...

les parties réelles sont égales et les parties imaginaires sont opposées (ce dont on pouvait se douter)

il suffit de montrer que cette partie imaginaire n'est pas nulle ...

Posté par
lionel52
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 09:21

Et les coeffs binomiaux?

Posté par
XZ19
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 09:32

Bonjour
Mes  2 points d'interrogation  s'adressait à  Car78 , suite à son message de 21:34  où on n'y comprend rien.  
Ma démonstration n'est pas longue, ni compliquée et peu calculatoire.

Concernant ce que tu veux faire @Carpediem, j'avais regardé mais vraiment je   ne  vois pas  comment y  arriver en effet il faut montrer que pour n=2p  
\sum_{k=0} ^{p-1}  C_{ 2p}^{2k+1}  2^{2k+1} (-1)^{p-k}\neq  0  

(j'ai  rajouté  le binomial  que tu as oublié d'écrire)

On peut simplifier et remplacer   2^{2k+1}   par [/tex] 4^k[/tex] mais  tous les termes sont pairs  et travailler sur la valuation de 2  n'aboutit  pas.  Bref  si on peut continuer relativement simplement cela peut être intéressant  mais c'est à voir.  

Posté par
carpediem
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 09:36

ha oui merci lionel52 ...

carpediem @ 13-10-2020 à 09:09

ok pour le cas impair qui est immédiat ...

posons n = 2p

\sum_0^n {n \choose k} 2^k i^{n - p} = \sum_0^p {2p \choose 2k} 4^k (-1)^{p - k} - i \sum_0^{p - 1} {2p \choose 2k + 1} 2^{2k + 1} (-1)^{p - k}

\sum_0^n {n \choose k} 2^k (-i)^{n - k} = \sum_0^p {2p\choose 2k} 4^k(-1)^{p - k} + i \sum_0^{p - 1} {2p \choose 2k + 1} 2^{2k + 1} (-1)^{p - k} = 2 \left[ \sum_0^p {2p\choose 2k + 1} 4^k(-1)^{p - k} + i \sum_0^{p - 1} {2p \choose 2k + 1} 4^k (-1)^{p - k} \right]

en espérant ne pas avoir fait d'erreur ...   malheureusement si !!

les parties réelles sont égales et les parties imaginaires sont opposées (ce dont on pouvait se douter)

il suffit de montrer que cette partie imaginaire n'est pas nulle ...


merci lionel52

hargh !! effectivement c'est plus compliqué ...

on y croit ... ou pas ...

Posté par
carpediem
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 09:38

XZ19 : effectivement ce n'est pas aussi simple que cela ... et peut-être ta méthode semble plus efficace ...

Posté par
mousse42
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 13:03

Salut,

J'ai déjà rencontré cet exercice, voici la demo :

Supposons qu'il existe n\in \N tel que (2+i)^n=(2-i)^n

(2+i)^n=[(2-i)+2i]^n=\sum_{k=0}^nC^k_n(2-i)^{n-k}(2i)^k=(2-i)^n+\sum_{k=1}^{n-1}C^k_n(2-i)^{n-k}(2i)^k+(2i)^n

Donc (2i)^n=-\sum_{k=1}^{n-1}C^k_n(2-i)^{n-k}(2i)^k=(i-2)\sum_{k=1}^{n-1}C^k_n(2-i)^{n-k-1}(2i)^k

Or |(2i)^n|^2=2^{2n} et |i-2|^2=5 donc 5\mid 2^{2n} ce qui est absurde

Posté par
lionel52
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 13:29

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 14:18

Bonjour,
A propos de la solution donnée par mousse42, quelque chose m'échappe :
On trouve \; (2i)^n=(i-2)\sum_{k=1}^{n-1}C^k_n(2-i)^{n-k-1}(2i)^k
De la forme \; (2i)n = (i-2) A , où \; A \; est un complexe.
Avec le carré des modules, on obtient ceci :
22n = 5|A|2
Pourquoi \; |A|2 \; est-il un entier ?

Posté par
lionel52
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 14:20

A = x + iy avec x et y entiers donc |A|² = x²+y²

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 14:22

D'accord, merci

Posté par
carpediem
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 19:41

démo intéressante :  très souvent les complexes interviennent pour résoudre un pb d'arithmétique, ici c'est le contraire ...

mais faut l'avoir cette idée !!

Posté par
XZ19
re : z n est pas une racine nieme de l unite 13-10-20 à 21:50

Bonjour,   la démonstration de mousse  est vraiment  simple.

Voici  en détail celle que j'avais proposée   : on a   z=exp(i  t)  avec t=arctan(4/3)
z^n= 1  est équivalent  à  \frac{t}{\pi}  est un rationnel.    
Donc  il existe un entier m  tel que  cos(mt)=1.  

On pose  u_0=2,  u_1= 2 cos(t)=6/5  et plus généralement  u_m=2 cos(mt)
 \\   

La  trigo  nous dit  que u_{m+1}+u_{m-1}=u_1 u_m

C'est  à dire qu'on a    u_m=p_m(u_1), \forall m   où   p_{m+1}  est  le polynôme  défini  par récurrence    

   p_{m+1}(x)=x  p_m(x)-p_{m-1}(x)  et  p_0(x)=2,  p_1(x)=x

Cette relation montre  que  p_m  est de degré m , unitaire à coefficient entier.  

Ce qui fait  que    u_m=p_m( 2 cos(t))=p(6/5)=2 est impossible.  D'où le  résultat

Posté par
manu_du_40
re : z n est pas une racine nieme de l unite 16-10-20 à 14:03

Joli exercice en effet. J'étais totalement passé à côté de la difficulté lorsque j'avais répondu à Carl.
C'est beau de voir l'algèbre venir au secours de l'analyse

Posté par
manu_du_40
re : z n est pas une racine nieme de l unite 16-10-20 à 14:03

Je le garde pour mon oral d'agreg (si un jour j'y participe )

Posté par
perroquet
re : z n est pas une racine nieme de l unite 17-10-20 à 00:44

Bonjour à tous.

@manu_du_40:
si tu as l'intention d'utiliser cet exercice pour un oral d'agreg, je te conseille de lire l'article de Pierre Legrand dans le bulletin de l'APMEP 491. On y démontre que si   \dfrac{\theta}{\pi}   est rationnel, alors les seules valeurs rationnelles que peut prendre \tan\theta sont   -1 , 0 , 1.
On peut trouver l'article à l'adresse suivante  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : z n est pas une racine nieme de l unite 17-10-20 à 08:03

Très intéressant ! Merci

Posté par
jandri Correcteur
re : z n est pas une racine nieme de l unite 17-10-20 à 10:33

Bonjour,

très jolie démonstration de mousse42.

La même idée permet de démontrer plus généralement pour a et b dans \Z^* :

\dfrac{a+ib}{a-ib} est une racine n^{ième} de l'unité si et seulement si a=\pm b.

Posté par
jandri Correcteur
re : z n est pas une racine nieme de l unite 17-10-20 à 11:48

La démonstration de XZ19 s'applique également à la généralisation que j'ai proposée.

Posté par
manu_du_40
re : z n est pas une racine nieme de l unite 17-10-20 à 12:42

Merci pour la référence perroquet. J'y jetterai un oeil.

Posté par
Shotsu
re : z n est pas une racine nieme de l unite 05-11-22 à 18:13

=(2-i)^n+\sum_{k=1}^{n-1}C^k_n(2-i)^{n-k}(2i)^k+(2i)^n
Donc (2i)^n=-\sum_{k=1}^{n-1}C^k_n(2-i)^{n-k}(2i)^k=(i-2)\sum_{k=1}^{n-1}C^k_n(2-i)^{n-k-1}(2i)^k

Je n'ai pas compris comment passé de la seconde a la troisième ligne, si vous pouvez m'expliquez un peu plus en détail je suis preneur, merci beaucoup.

* Modération > message édité pour mettre les balises LaTeX *

Posté par
Shotsu
re : z n est pas une racine nieme de l unite 05-11-22 à 18:16

Je n'ai pas compris dans la démo de mousse42 comment passer de la seconde a la troisième ligne, si vous pouvez m'expliquez un peu plus en détail je suis preneur, merci beaucoup.

Posté par
GBZM
re : z n est pas une racine nieme de l unite 05-11-22 à 18:33

Bosoir,

On utilise l'hypothèse (2+i)^n=(2-i)^n.

Posté par
Shotsu
re : z n est pas une racine nieme de l unite 06-11-22 à 12:05

pardon je me suis mal exprimé, la ligne qui commence par donc (2i)^n. C'est cela que j'ai pas compris. Comment il déduit (2i)^n = ...

Posté par
GBZM
re : z n est pas une racine nieme de l unite 06-11-22 à 19:51

En utilisant l'hypothèse (2+i)^n=(2-i)^n et l'égalité établie à la ligne du dessus : si $a=b$  et a=b+c+d$, alors d=-c. Non ?



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