Bonjour,

Tu peux aller voir ce line intéressant : -->

Bonjour downfall

On va y aller doucement.
Tout d'abord, sais tu ce qu'est une relation d'équivalence et une classe d'équivalence ?

Kaiser

bonjour, merci Nicoco
pour la relation d'équivalence, oui, la classe d'équivalence je connais la définition : la classe d'équivalence de x, ce sont tous les y appartenant a l'ensemble qui satisfont la relation xRy. mais apres concretement je vois pas ce que ca represente

Dans une même classe d'équivalence, on met ensemble les entiers qui ont le même reste dans la division euclidienne par n.

d'accord merci
je viens à peu pres de comprendre
mais les histoires de groupes quotients etc ;.j'ai bien compris la définition de groupe, anneau, groupe abélien mais l'arithmétique qui va avec

j'ai compris comment trouver les tables d'addition dans Z/nZ
enfin je crois
pour l'addition, c'est le reste de la division de x+y par n, pour la multiplication le reste de la division de x*y par n

"l'arithmétique qui va avec "

Tu fais référence à où à autre chose en particulier ?

je voulais dire :

Ben surtout Z/nZ.
sans etre dans les groupes quotients, j'ai bien compris la congruence, la division euclidienne, mais pas trop avec Z/nZ

D'après ce que tu as dit précédemment, tu sais comment calculer x+y, xy. Quels sont les autres problèmes que tu rencontrent ?

merci pour ton aide kaiser
ben je suis pas sur d'avoir compris la classe d'équivalence
si je prends ab[n] avec a= 10, b = 3 et n = 4
la classe de a c'est a= {...,2,6,14,18..} ?
apres je ne comprends ce que veut dire "l'ensemble quotient de Z par la relation de congruence modulo n"

Tu as oublié 10 dans la classe de a mais sinon c'est ça.
Plus généralement, la classe de a modulo n est l'ensemble .

L'ensemble quotient est l'ensemble de toutes les relations d'équivalences.

oki merci, je vais essayer de me debrouiller avec ça

Je t'en prie !

Pour piger un peu  Z/nZ  je commence souvent par expliquer le cas  n =2 .

Quand  n = 2, la relation d'équivalence est  xRy  SSi
x- y   est un nombre pair.

Regardons la classe de 0 que je vais noter (0)  (parce que la barre dessus je sais pas l'écrire)
xR0  SSi  x -0 =  x  est pair d'où
(0) = les nombres pairs = les multiples de 2 = 2Z

Regardons la classe de 1 : xR1 SSi  x-1 est pair SSi  x  est impair  (1) =  les impairs = 2Z +1
or tout nombre est soit pair soit impair , on a
Z = (0) U (1)  et l'union est disjointe : il n'y a pas d'autre classe.
Par définition  Z/2Z = { (0) , (1) }
remarquons qu'on a aussi  (3) = (1)  et qu'on aurait pu écrire  Z/2Z = { (0) , (3) }  par le même principe
Z/2Z = { (2006) , (-1) }  etc....on dit que 1,3,5, -1 ...sont des représentants de (1) de même 0, 2006, -34568 , sont des représentants de (0) .
Evidemment  0  et 1 sont plus simples et c'est souvent ceux là qu'on utilise !
Ensuite dans  Z  tu peux faire des additions ..ça tu sais depuis la maternelle...or
2n + 2m = 2(n+m)  la somme de deux pairs est paire
2n+1 + 2m = 2(n+m) +1  impair+pair = impair
2n+1 + 2m+1 = 2(n+m+1)  impair +impair = pair

comme  (0) = les pairs et (1) = les impairs , tu vois que
(0)+(0) = (0)  signifie pair+pair=pair
(0)+(1)= (1)  signifie pair +ipair =impair
Bref  Z/2Z est un groupe (l'addition de Z est compatible avec la relation de congruence)
^mêmes propriétés pour la multiplication !

Voilà j'espère que c'est un peu plus clair,
lolo

merci lolo217
oui c'est plus clair

mais tu as pris y = 0 et y= 1 , < n. il faut toujours que x et y soient inférieurs à n ?

En fait tu n'es pas obligé de choisir des nombres plus petits que n... mais on le fait tout le temps... pourquoi ?
Parce qu'on s'intéresse aux nombres qui on le même reste dans la division euclidienne par n...
Les restes possibles sont donc 0,1,2,...,n-1 (si on a d'autres restes c'est qu'on sait pas faire une division )
Donc quel que soit le nombre que tu choisis son reste est un de ces nombre...
Retournons à un exemple concre avec n=3
Il y a trois restes possibles 0,1 et 2... (jusqu'ici tout va bien) donc il y a trois classes de nombre ceux dont le reste est 0 ceux dont le reste est 1 et ecux dont le reste est deux...
Et bien ces nombre on les regroupe par ensemble
                              
dans un ensemble que j'appelle A je mets { 0,3,6,9,12...}
                               B je mets { 1,4,7,10,13...}
                               C je mets { 2,5,8,11,14...}
Voilà, jusqu'ici rien de bien compliqué, il ne reste plus qu'à expliquer les nombres avec une barre dessus :
                               -
Si j'ai un chiffre x j'appelle x tous le snombres qui ont même reste que x par la division par n (donc ici par 3)
                - - - - --
donc ici on a A=0=3=6=9=12 ... de même
                - - - -- --
              B=1=4=7=10=13  ...
                                       -    -
du coup ça a bien un sens de parler de 3 ou 4 mais par convention on préfère utiliser les chiffres plus petit que n puisqu'on parle des MEMES ensemble...

Voilà j'espère t'avoir éclairci sur ce sujet assez difficile à comprendre au départ (je me souviens que moi aussi j'ai eu du mal) mais passionnnant par la suite parce que c'est très très puissant comme outil pour l'arithmétique... désespère pas ça va venir...

Seb

Désolé j'ai pas mis mes barres au bon endroit...
vraiment nul en mise en page moi ...
                                    

c'est pas grave j'ai compris!
merci à tous

comment resoudre par exemple

_   _   _  _
x⁴+x²+4=0 dans Z/6Z ?

Questions supplémentaires pour traiter l'exo:
quels sont les élèments de Z/6Z ?
pour chaque élément, calculer x4+x²+4
conclure

merci
les éléments de Z/6Z sont {0,1,2,3,4,5} (avec la barre)

je dois juste remplacer les x par les elements de Z/Z6, et simplifier ?

(ya des barres partout normalement

pour 0 : 4=0
pour 1 : 6 =0
pour 2 : 24 = 0
etc.

ensuite je regarde les classes qui sont equivalentes ?

26 * pour 2

>pour 0 : 4=0
>pour 1 : 6 =0
>pour 2 : 24 = 0

4=0 c'est faux, donc 0 n'est pas solution de l'équation
6=0 est vrai (Z/6Z) donc 1 est solution
ainsi pour tous les éléments et c'est fini

ah ok c'est facile en fait, merci
mais une dernire chose comment qu'on voit qu'une classe est équivalente a une autre ?

non je pense que c'est bon

0 = 6 = 12 = 18= 24 etc ?

Voilà c'est ça : 0,6,.. ne sont que des représentants de la même classe.
Donc ce que tu as vérifié pour 0, pas besoin de le faire pour 6, ni 12 etc..
Ce qui fait la puissance du calcul dans Z/nZ c'est la compatibilité de + et *,
(lolo217 en a déjà parlé plus haut) avec la relation de congruence :
dans Z/3Z, tu seras d'accord que 1=4 et 2=5 et
que se passe-t-il si on fait 1*2 et 4*5 ? Ils sont égaux :
1*2=2 mod 3
4*5=20=2 mod 3
pareil avec l'addition
donc une fois que tu as fait x^4+x^2+4 pour un représentant de la classe,
tu peux être sûr que, modulo 6, le résultat est le même pour tous les autres.

ok merci !

Oui et pour  Z/6Z = {0,1,2,3,4,5 }  avec des barres (qu'après quand on a l'habitude on écrit plus) on peut aussi  se servir de  Z/6Z = {0,1,2,3,-2,-1 }  ça peut être pratique pour calculer  x^(2006) quand  x = classe de 5 = classe (-1) est plus facile  (ça fait 1).

lolo