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Niveau Licence Maths 1e ann
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Z/nZ

Posté par
RiemanB
14-02-21 à 12:50

Bonjour à tous,

Un exercice me pose problème.
Soit n ∈ N*. Soit A et B deux sous-ensembles de Z/nZ. On note A+B={a+b:a∈A, b∈B}.
1. Dans cette question, on se place dans Z/8Z, et l'on considère A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4} et C = {1}.
(a) À quoi est égal A+B? J'ai mis {3,5,7,9} (ce sont les classes de 3,5...)
(b) À quoi est égal A+C? J'ai mis {2,4,6,8} (idem)
2. Montrer que si Card(A) + Card(B) > n, alors A + B = Z/nZ. Avant de me questionner là dessus j'aimerais savoir si à) et b) sont justes.

Pourriez-vous me donner votre avis s'il vous plaît?
Merci d'avance.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Z/nZ 14-02-21 à 13:28

Bonjour,
Une remarque : 9 1 [8]
Choisis des représentant dans {0,1,2,3,4,5,6,7} pour /8.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Z/nZ 14-02-21 à 13:31

Sinon, a) et b) me semblent juste.
Avec des tableaux à double entrée, c'est très clair.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Z/nZ 14-02-21 à 13:31

justes

Posté par
RiemanB
re : Z/nZ 14-02-21 à 14:37

Très bien merci,
Pour la 2) j'aimerais partir sur montrer qu'il existe une bijection entre A+B et Z/nZ si card(A)+card(B) supérieur à n, sachant que card(Z/nZ)=n donc montrer que card(A+B)=n. Est-ce une bonne méthode,?si oui, il y a plus simple selon vous?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Z/nZ 14-02-21 à 16:07

Je ne la sens pas la bijection
Si Card(A) + Card(B) > n alors AB n'est pas vide.
Utiliser c dans AB ?

Posté par
RiemanB
re : Z/nZ 14-02-21 à 18:55

Merci, je comprends pourquoi l'intersection est non vide, mais la seule chose que cela m'inspire est la formule card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AB). Désolé sûrement aucun rapport.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Z/nZ 14-02-21 à 19:04

Si, ça a un rapport pour justifier l'intersection non vide :
card(A)+card(B) > n et card(AUB) n.
Donc card(AB) > 0 ; donc AB non vide.

Pour la suite, je ne vois pas.
Mais sois patient car d'autres îliens vont venir t'aider.

Posté par
RiemanB
re : Z/nZ 14-02-21 à 19:08

Merci beaucoup Sylvieg. Je continue la réflexion patiemment.

Posté par
perroquet
re : Z/nZ 14-02-21 à 19:41

Bonjour à tous les deux.

On va montrer la  contraposée.

Supposons que A+B ne soit pas égal à \mathbb Z/n\mathbb Z.
Soit x un élément de  \mathbb Z/n\mathbb Z qui n'est pas dans A+B.

Pour tout k de A :   x = k + x-k. Cela entraîne que x-k n'appartient pas à B.

Notons  \Delta = \{x-k \ | \  k \in A\}. Il est facile de montrer que le cardinal de \Delta est égal à celui de A  et donc que le cardinal du complémentaire de \Delta est égal à n-{\rm Card}(A).

D'après ce qui précède, B est inclus dans le complémentaire de \Delta.

On en déduit que     {\rm Card}( B) \leqslant n -{\rm Card }(A).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Z/nZ 14-02-21 à 22:24

Bravo perroquet, et merci
On peut ne pas parler de complémentaire :
Les x-k quand k décrit A sont tous distincts. Il y en a donc card(A).
Comme ils ne sont pas dans B, on a card(B) n - card(A).

Posté par
RiemanB
re : Z/nZ 15-02-21 à 13:18

Super perroquet, merci pour ton aide!



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