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Niveau Licence Maths 1e ann
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Z[racine de 2] densité

Posté par
bouri
22-01-21 à 17:46

Bonsoir à tous,
Je cherche à résoudre ces deux questions :
A=\mathbb{Z}[\sqrt(2)] = \left\{ a +b\sqrt(2), a,b \in  \mathbb{Z}\right\}
 \\

1) Montrer que \sqrt(3) \notin A
2) Montrer que A est dense dans


Pour la 1 je voulais supposer que \sqrt(3) \in A mais ensuite je ne sais pas trop ....
Que dans ce cas, 3=a^2 +2ab +2b^2 avec a,b \in \mathbb(Z) (en passant au carré)
mais je n'arrive pas à trouver une contradiction...
Ou utiliser qu'à a fixé, b \mapsto a + \sqrt{2} est croissante et tester des valeurs

2)J'ai deux idées :
poser un réel r et essayer de trouver deux suite d'entiers an et bn] telles que a_n + \sqrt{2}b_n \rightarrow r
Mais en fait je ne sais pas comment les construire (avec des parties entières ?)
Ou essayer de montrer que pour tout réel r il existe e tel que  ]r-e, r+e [ \cap A \neq \emptyset

Merci d'avance pour vos réponses

Posté par
matheuxmatou
re : Z[racine de 2] densité 22-01-21 à 17:51

bonjour

ce serait bien que tu détaille tes calculs quand tu supposes   que 3 A

Posté par
matheuxmatou
re : Z[racine de 2] densité 22-01-21 à 17:56

(et travailler sur plusieurs trucs en même temps sans en aboutir un est totalement contreproductif)

Posté par
bouri
re : Z[racine de 2] densité 22-01-21 à 18:08

Je me suis trompée en écrivant :
si \sqrt{3} \in A il existe a,b \in \mathbb{Z}, \sqrt{3}=a + b\sqrt{2} donc par passage au carré 3 = a^2 +2ab\sqrt{2} +2b^2

Posté par
matheuxmatou
re : Z[racine de 2] densité 22-01-21 à 18:10

c'est déjà mieux

et donc 2 ....

Posté par
bouri
re : Z[racine de 2] densité 22-01-21 à 18:15

Et donc  \sqrt{2} = \dfrac{3-a^2-2b^2}{2ab} si (a,b) \neq (0,0)on aurait alors \sqrt{2} \in \mathbb{Q} car le numérateur et le dénominateurs sont des entiers ce qui est une contradiction
et \sqrt{3}\neq 0+0\times \sqrt{2}

On a donc bien \sqrt{3}\notin A

Posté par
matheuxmatou
re : Z[racine de 2] densité 22-01-21 à 18:18

voilà

Posté par
matheuxmatou
re : Z[racine de 2] densité 22-01-21 à 18:20

attention, avant de diviser par ab, il faut

a0 ET b0

ce qui n'est pas la même chose que (a;b)(0;0)

donc faut reprendre ce cas-là

Posté par
matheuxmatou
re : Z[racine de 2] densité 23-01-21 à 00:03

pour la densité, sujet déjà abordé ici : Nombres réels

Posté par
bouri
re : Z[racine de 2] densité 23-01-21 à 11:28

Merci pour la précision sur a0 et b0

Et merci pour le lien. J'ai une question :
u_n = (-1 + \sqrt{2})^n , comme -1 <-1+\sqrt{2}<1 alors u_n \rightarrow 0.
Par définition de la limite, pour tous x<y (donc y-x>0), il existe un certain entier naturel n tel que 0<un<y-x

donc 1< \dfrac{y-x}{u_n}

Et là je "vois l'idée" que la différence entre \dfrac{y}{u_n} et \dfrac{x}{u_n} est plus grande que 1 donc il existe un entier entre les deux.
Mais je n'arrive pas à l'écrire "proprement".

Merci d'avance

Ps : est-il préférable que je pose ma question sur l'autre fil ?

Posté par
matheuxmatou
re : Z[racine de 2] densité 23-01-21 à 12:12

ben que penses-tu de la partie entière de y/un ?

Posté par
bouri
re : Z[racine de 2] densité 24-01-21 à 20:44

 1 + \dfrac{x}{u_n} < \dfrac{y}{u_n} donc \dfrac{x}{u_n}< 1 + \lfloor \dfrac{x}{u_n} \rfloor \leq \lfloor \dfrac{y}{u_n} \rfloor \leq \dfrac{y}{u_n}

Ainsi \lfloor \dfrac{y}{u_n} \rfloor est un entier compris entre \dfrac{x}{u_n} et  \dfrac{y}{u_n}

Posté par
mousse42
re : Z[racine de 2] densité 25-01-21 à 09:23

Salut,

Puisque  matheuxmatou est absent, Voici un dessin pour t'aider

0|----+----+----------------------------------+---------+------>
          u_n    |y-x|                                                       x                y

Posté par
bouri
re : Z[racine de 2] densité 26-01-21 à 15:09

Merci mousse42 pour ta réponse.
Je ne vois pas sur le dessin comment arriver à un entier entre x et y.
Comment représente-t-on la division sur une demi-droite réelle ?

Posté par
mousse42
re : Z[racine de 2] densité 26-01-21 à 15:26

Salut,
C'était juste pour te montrer de manière intuitive l'existence d'un entier k tel que x<ku_n<y, c'est tout...tu l'as montré de façon formelle

Posté par
matheuxmatou
re : Z[racine de 2] densité 26-01-21 à 17:12

pour finir sur le sujet, imagine que tu marches en faisant des pas de 1 m sur un carrelage dont les dalles sont carrées et de dimension supérieure à 1 m... ben tu poseras le pied au moins une fois sur chaque dalle !

Posté par
bouri
re : Z[racine de 2] densité 26-01-21 à 17:38

Merci à tous les deux !

Bonne soirée

Posté par
matheuxmatou
re : Z[racine de 2] densité 26-01-21 à 18:09

pas de quoi

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