Fiche de mathématiques

Groupe

On dit que le magma $(G,\ast)$ est un groupe si et ssi :

$\rm\lbrace {(G,\ast) est un monoide\\Tout element de G admet un symetrique pour \ast$

Groupe abélien

On appelle groupe abélien ( ou groupe commutatif ) tout groupe $(G,\ast)$ tel que $\ast$ soit commutative

Exemples :
1) $(\mathbb{R},+)$ est un groupe abélien
2) L'ensemble des applications bijectives de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un groupe pour la composition

Proposition :

Tout élément d'un groupe est régulier

Ordre :

Si $(G,\ast)$ est un groupe fini, on appelle ordre de G le cardinal de G

Sous-groupes :

Soient $(G,\ast)$ un groupe, $H\in P(G)$ . On dit que H est un sous-groupe de G si et ssi :
$\rm\lbrace {\forall(x,y)\in H^{2} , x\ast y\in H\\e\in H\\\forall x\in H, x^{-1}\in H$
( $\rm e$ étant le neutre de G et $\rm x^{-1}$ le symétrique de x dans G )

CNS du Sous-groupes :

Pour que H soit un sous groupe de G , il faut et il suffit que l'on ait :
$\rm\lbrace {H est stable pour \ast\\H est un groupe pour la loi induite par la loi \ast de G$

Exemple :
$(\mathbb{R},+)$ est un sous groupe de $(\mathbb{C},+)$

Sous-groupe engendré :

Soient $(G,\ast)$ un groupe , $A\in P(E)$ .
L'intersection de tous les sous-groupes de G contenant A est un sous-groupe de G , appelé sous-groupe engendré par A , et noté $\langle A\rangle$
Pour tout élément a de G , on notera $\langle a\rangle$ plutot que $\langle \lbrace a\rbrace \rangle$

Propriétés

Soient $(G,\ast)$ un groupe , $A\in P(G)$ .

a) $\langle\empty\rangle=\lbrace e\rbrace$ , où $\rm e$ est le neutre de G
b)Pour toute partie non vide A de G , $\langle A\rangle$ est l'ensemble des composés multiples d'éléments de A et de symétriques d'éléments de A

Groupe monogène et générateur :

Un groupe G est dit monogène si et seulement s'il existe un élément a de G tel que $G=\langle a\rangle$ .
a est alors appelé générateur de G

Groupe cyclique :

Un groupe G est dit cyclique si et seulement s'il est monogène et fini .

Exemples :
1) $(\mathbb{Z},+)$ est un groupe monogène de générateur 1 (ou -1)
2) $(\mathbb{R},+)$ n'est pas un groupe monogène

Morphisme de groupes :

Soit $\rm f : (G,\ast)\to (G^\',\diamond)$ un morphisme de magmas . Si $(G,\ast)$ et $(G^\',\diamond)$ sont des groupes , alors f prend le nom de morphisme de groupes.
Même chose dans le cas où f est un endomorphisme , un isomorphisme ou un automorphisme

Proposition :

Soit $\rm f : (G,\ast)\to (G^\',\diamond)$ un morphisme de groupes . Alors :
a) $\rm f(e)=e^\'$ ( $e$ et $e^\'$ étant les neutres respectifs de G et G')
b) $\rm\forall x\in G , f(x^{-1})=(f(x))^{-1}$

noyau et image d'un morphisme de groupe :

Soit $\rm f : (G,\ast)\to (G^\',\diamond)$ un morphisme de groupes .
a)le noyau de $\rm f$ est l'ensemble noté $\rm Ker(f)$ tel que :
$\rm Ker(f)=\lbrace x\in G ; f(x)=e^\'\rbrace =f^{-1}(\lbrace e^\'\rbrace )$ où $\rm e^\'$ est le neutre de G'
$\rm Ker(f)$ est un sous-groupe de G

b)l'image de $\rm f$ est l'ensemble noté $\rm Im(f)$ tel que :
$\rm Im(f)=\lbrace y\in G^\',\exists x\in G , y=f(x)\rbrace =f(G)$
$\rm Im(f)$ est un sous-groupe de G'

Groupes Isomorphes

Un groupe $(G,\ast)$ est dit isomorphe à un groupe $(G^\',\diamond)$ si et seulemet s'il existe un isomorphisme entre ces deux groupes .

Exemple :
$(\mathbb{R},+)$ est isomorphe à $(\mathbb{R}_{+}^{*},+)$ car $\rm\begin{array} \exp : &\mathbb{R}&\to \mathbb{R}_{+}^{*}\\&x&\to \exp(x)\end{array}$ est un isomorphisme de groupe

Transfert de la structure de groupe :

Soient $(G,\ast)$ un groupe , $(E,\diamond)$ un magma . S'il existe un isomorphisme de magmas de $(G,\ast)$ sur $(E,\diamond)$ , alors $(E,\diamond)$ est un groupe isomorphe au groupe $(G,\ast)$

algèbre

Anneaux

Définition

Soit A un ensemble muni de deux lci notées $+$ et $\cdot$ .

1) On dit que $(A,+,\cdot)$ (ou : A) est un pseudo-anneau si et seulement si :
$\rm\lbrace {(A,+) est un groupe abelien\\\cdot est associative\\\cdot est distributive sur +$

2) On dit que A est un anneau si et seulement si :
$\rm\lbrace {A est un pseudo-anneau\\A admet un neutre pour \cdot$

3)On dit que A est un anneau commutatif si et seulement si :
$\rm\lbrace {A est un anneau\\\cdot est commutative$

Exemples :
a) $(\mathbb{R},+,\cdot)$ est un anneau commutatif
b) $(\mathbb{R}\left[X\right],+,\cdot)$ est un anneau commutatif

Calculs dans un anneau :

Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau . On note :
0 le neutre de +
-x le sym d'un élément x de A pour +
1 (ou 1_A ) le neutre de $\cdot$

On a alors :
a) $\rm\forall x\in A , 0\cdot x=x\cdot 0=0$ ( on dit que 0 est absorbant pour $\cdot$ )

b) $\rm\forall x\in A , (-1_{A})\cdot x=x\cdot (-1_{A})=-x$

c) $\rm \forall (x,y)\in A^{2} , \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {(-x)y & x(-y)=-xy \\ (-x)(-y) & xy \\ \end{array} \right.$

d) $\rm\forall (x,y,z)\in A^{3} , \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {(x-y)z & xz-yz \\ z(x-y) & zx-zy \\ \end{array} \right.$

e) $\rm\forall n\in\mathbb{N}^{*} , \forall a\in A , (1-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}\right)(1-a)=1-a^{n}$

f) $\rm\forall p\in\mathbb{N} , \forall a\in A , (1+a)\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}\right)(1+a)=1+a^{2p+1}$

g) $\rm\forall a\in A , \forall n\in\mathbb{N}^{*} , \forall(x_{1},......,x_{n})\in A^{n} , \displaystyle\sum_{i=1}^{n} ax_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}$

h) $\rm\forall n,p\in\mathbb{N}^{*} , \forall(x_{1},.....,x_{n})\in A^{n} , (y_{1},......,y_{p})\in A^{p} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} x_{i}y_{j}\right)=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}\right)=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} y_{1}\right)$

Binôme de Newton

Soient $(A,+,\cdot)$ un anneau , $n\in\mathbb{N}$ , $\rm(x,y)\in A^{2}$ tel que xy=yx .
On a :
$\rm(x+y)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{k}y^{n-k}$

Sous-anneaux

Soient $(A,+,\cdot)$ un anneau , $E\in P(A)$ . on dit que E est un sous-anneau de A si et seulement si :
$\rm\lbrace { E est un sous-groupe de (A,+)\\\forall(x,y)\in E^{2} , xy\in E\\ 1_{A}\in E$

Exemples :
1) $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ est un sous-anneau de $(\mathbb{R},+,\cdot)$
2) $2\mathbb{Z}$ n'est pas un sous-anneau de $(\mathbb{Z},+,\cdot)$

CNS du sous-anneaux

Pour que E soit un sous-anneau de A , il faut et il suffit que :
$\rm\lbrace {\forall(x,y)\in E^{2} , x-y\in E\\\forall(x,y)\in E^{2} , xy\in E\\ 1_{A}\in E$

Morphismes d'anneaux

Soient A,A' deux anneaux , $\rm f : A\to A^\'$ une application .
On dit que $\rm f$ est un morphisme d'anneaux si et seulement si $\forall (x,y)\in A^{2}$ :
$\rm\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {f(x+y) & f(x)+f(y)\\f(xy)=f(x)f(y) \\ f(1_{A}) & 1_{A} \\ \end{array} \right.$

un endomorphisme d'anneaux A est un morphisme de A dans A
un isomorphisme d'anneaux est un morphisme d'anneaux bijectif
un automorphisme d'un anneaux A est un endomorphisme d'anneaux A

Diviseur :

Soit A un anneau , $a\in A$ .
On dit que a est un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite) dans A si et ssi :
$\rm\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {a\no & 0\ \\ exist t\in A , (b\no & 0 et at=0 (resp. ta=0)) \\ \end{array} \right.$

On dit que a est un diviseur de zéro dans A si et seulement si c'est un diviseur de zéro à droite et à gauche

Exemples :
1) $\mathb{Z}$ n'admet aucun diviseur de zéro
2) dans $M_{2}(\mathbb{R})$ , $\rm\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$ est un diviseur de zéro à gauche et $\rm\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ est un diviseur de zéro à droite

Anneau intègre

Un anneau A est dit intègre si et seulement si :
$\rm\lbrace {A est commutatif\\A n^\'admet aucun diviseur de zero\\a\no= \empty$

Exemples :
1) $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ est intègre
2) $(\mathbb{Z}/_{6\mathbb{Z}},+,\cdot)$ n'est pas intègre

algèbre

Corps

Définition :

un ensemble K muni de deux lois $+,\cdot$ est appelé corps si et seulement si :
$\rm\lbrace {(K,+,\cdot) est un anneau\\0_{K}\no=1_{K}\\Tout element de K-\lbrace 0\rbrace admet un inverse pour \cdot dans K$

Si de plus , $\cdot$ est commutative dans K , on dit que K est un corps commutatif

Exemples :
$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sont des corps commutatifs

Sous-corps

Soient K un corps , $L\in P(K)$ . On dit que F est un sous-corps de K si et seulement si :
$\rm\lbrace {F est un sous-anneaux de K\\\forall x\in F-\lbrace 0\rbrace , x^{-1}\in F$

Morphisme de corps

Soit $\rm f : K\to K^\'$ un morphisme d'anneau .
Si K et K' sont deux corps , $\rm f$ prend le nom de morphisme de corps

On appliquera la même définition aux endomorphismes , isomorphismes et automorphismes d'anneaux

Exemple :
L'application identitée et la conjugaison dans $\mathbb{C}$ sont des automorphises de $\mathbb{C}$

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