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Fiche de mathématiques






I. Groupes

Définition :
On dit que le magma (G,\ast) est un groupe si et seulement si :
* (G,\ast) est un monoide,
* Tout element de G admet un symetrique pour \ast.



Groupe abélien

On appelle groupe abélien ( ou groupe commutatif ) tout groupe (G,\ast) tel que \ast soit commutative.



Exemples :
1) (\mathbb{R},+) est un groupe abélien.
2) L'ensemble des applications bijectives de \mathbb{R} dans \mathbb{R} est un groupe pour la composition.

Proposition :

Tout élément d'un groupe est régulier.



Ordre :

Si (G,\ast) est un groupe fini, on appelle ordre de G le cardinal de G.



Sous-groupes :

Soient (G,\ast) un groupe, H\in P(G) . On dit que H est un sous-groupe de G si et seulement si :
* \forall(x,y)\in H^{2} , x\ast y\in H
* e \in H
* \forall x\in H, x^{-1}\in H
(e étant le neutre de G et x^{-1} le symétrique de x dans G)



CNS du Sous-groupes :

Pour que H soit un sous groupe de G , il faut et il suffit que l'on ait :
* H est stable pour \ast,
* H est un groupe pour la loi induite par la loi \ast de G.



Exemple :
(\mathbb{R},+) est un sous groupe de (\mathbb{C},+).

Sous-groupe engendré :

Soient (G,\ast) un groupe , A\in P(G).
L'intersection de tous les sous-groupes de G contenant A est un sous-groupe de G , appelé sous-groupe engendré par A , et noté \langle A\rangle
Pour tout élément a de G , on notera \langle a\rangle plutot que \langle \lbrace a\rbrace \rangle



Propriétés

Soient (G,\ast) un groupe , A\in P(G).

a) \langle\emptyset\rangle=\lbrace e\rbrace , où e est le neutre de G
b) Pour toute partie non vide A de G , \langle A\rangle est l'ensemble des composés multiples d'éléments de A et de symétriques d'éléments de A



Groupe monogène et générateur :

Un groupe G est dit monogène si et seulement s'il existe un élément a de G tel que G=\langle a\rangle .
a est alors appelé générateur de G.



Groupe cyclique :

Un groupe G est dit cyclique si et seulement s'il est monogène et fini.



Exemples :
1) (\mathbb{Z},+) est un groupe monogène de générateur 1 (ou -1).
2) (\mathbb{R},+) n'est pas un groupe monogène.

Morphisme de groupes :

Soit f : (G,\ast)\to (G',\diamond) un morphisme de magmas . Si (G,\ast) et (G',\diamond) sont des groupes , alors f prend le nom de morphisme de groupes.


Même chose dans le cas où f est un endomorphisme , un isomorphisme ou un automorphisme

Proposition :

Soit f : (G,\ast)\to (G',\diamond) un morphisme de groupes . Alors :
a) f(e)=e' (e et e' étant les neutres respectifs de G et G')
b) \forall x\in G , f(x^{-1})=(f(x))^{-1}



Noyau et image d'un morphisme de groupe :

Soit f : (G,\ast)\to (G',\diamond) un morphisme de groupes .
a) le noyau de f est l'ensemble noté Ker(f) tel que :
Ker(f)=\lbrace x\in G ; f(x)=e' \rbrace =f^{-1}(\lbrace e'\rbrace )e' est le neutre de G'
Ker(f) est un sous-groupe de G



b) l'image de f est l'ensemble noté Im(f) tel que :
Im(f)=\lbrace y\in G',\exists x\in G , y=f(x)\rbrace =f(G)
Im(f) est un sous-groupe de G'



Groupes Isomorphes

Un groupe (G,\ast) est dit isomorphe à un groupe (G',\diamond) si et seulemet s'il existe un isomorphisme entre ces deux groupes.



Exemple :
(\mathbb{R},+) est isomorphe à (\mathbb{R}_{+}^{*},+) car \exp : \begin{array}{c} \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{+}^{*}\\ x \to \exp(x)\end{array} est un isomorphisme de groupe.

Transfert de la structure de groupe :

Soient (G,\ast) un groupe , (E,\diamond) un magma . S'il existe un isomorphisme de magmas de (G,\ast) sur (E,\diamond) , alors (E,\diamond) est un groupe isomorphe au groupe (G,\ast).




II. Anneaux

Définition

Soit A un ensemble muni de deux lci notées + et \cdot.

1) On dit que (A,+,\cdot)(ou : A) est un pseudo-anneau si et seulement si :
* (A,+) est un groupe abelien
* \cdot est associative
* \cdot est distributive sur +

2) On dit que A est un anneau si et seulement si :
* A est un pseudo-anneau
* A admet un neutre pour \cdot

3)On dit que A est un anneau commutatif si et seulement si :
* A est un anneau
* \cdot est commutative



Exemples :
a) (\mathbb{R},+,\cdot) est un anneau commutatif.
b) (\mathbb{R}\left[X\right],+,\cdot) est un anneau commutatif.

Calculs dans un anneau :

Soit (A,+,\cdot) un anneau . On note :
* 0 le neutre de +
* -x le sym d'un élément x de A pour +
* 1 (ou 1A ) le neutre de \cdot

On a alors :
a) \forall x\in A , 0\cdot x=x\cdot 0=0 ( on dit que 0 est absorbant pour \cdot )

b) \forall x\in A , (-1_{A})\cdot x=x\cdot (-1_{A})=-x

c) \forall (x,y)\in A^{2} , \left \lbrace \begin{array}{c} {(-x)y = x(-y)=-xy \\ (-x)(-y) = xy \\ \end{array} \right.

d) \forall (x,y,z)\in A^{3} , \left \lbrace \begin{array}{c} {(x-y)z = xz-yz \\ z(x-y) = zx-zy \\ \end{array} \right.

e) \forall n\in\mathbb{N}^{*} , \forall a\in A , (1-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{k}\right)(1-a)=1-a^{n}

f) \forall p\in\mathbb{N} , \forall a\in A ,  (1+a)\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}=\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{2p}(-1)^{k}a^{k}\right)(1+a)=1+a^{2p+1}

g) \forall a\in A , \forall n\in\mathbb{N}^{*} , \forall(x_{1},......,x_{n})\in A^{n} , \displaystyle\sum_{i=1}^{n} ax_{i}=a\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}

h) \forall n,p\in\mathbb{N}^{*} , \forall(x_{1},.....,x_{n})\in A^{n} , (y_{1},......,y_{p})\in A^{p} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} x_{i}y_{j}\right)=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}\right)=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^{p} y_{1}\right)

Binôme de Newton

Soient (A,+,\cdot) un anneau , n\in\mathbb{N} , (x,y)\in A^{2} tel que xy=yx .
On a :
(x+y)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} x^{k}y^{n-k}



Sous-anneaux

Soient (A,+,\cdot) un anneau , E\in P(A) . on dit que E est un sous-anneau de A si et seulement si :
* E est un sous-groupe de (A,+)
* \forall(x,y)\in E^{2} , xy\in E
* 1_{A}\in E



Exemples :
1) (\mathbb{Z},+,\cdot) est un sous-anneau de (\mathbb{R},+,\cdot).
2) 2\mathbb{Z} n'est pas un sous-anneau de (\mathbb{Z},+,\cdot).

CNS du sous-anneaux

Pour que E soit un sous-anneau de A , il faut et il suffit que :
* \forall(x,y)\in E^{2} , x-y\in E
* \forall(x,y)\in E^{2} , xy\in E
* 1_{A}\in E



Morphismes d'anneaux

Soient A,A' deux anneaux , f : A\to A' une application.
On dit que f est un morphisme d'anneaux si et seulement si \forall (x,y)\in A^{2} :
\left \lbrace \begin{array}{c @{=} c} f(x+y) & f(x)+f(y) \\ f(xy)&f(x)f(y) \\ f(1_{A}) & 1_{A} \end{array} \right .



un endomorphisme d'anneaux A est un morphisme de A dans A.
un isomo rphisme d'anneaux est un morphisme d'anneaux bijectif.
un automorphisme d'un anneaux A est un endomorphisme d'anneaux A.

Diviseur :

Soit A un anneau , a\in A .
On dit que a est un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite) dans A si et ssi :
\left \lbrace \begin{array}{c} {a \neq 0 \\ \exist t\in A , (b\neq 0\text{ et }at=0 (\text{resp. }ta=0)) \end{array} \right.



On dit que a est un diviseur de zéro dans A si et seulement si c'est un diviseur de zéro à droite et à gauche.

Exemples :
1) \mathb{Z} n'admet aucun diviseur de zéro.
2) dans M_{2}(\mathbb{R}) , \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} est un diviseur de zéro à gauche et \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} est un diviseur de zéro à droite.

Anneau intègre

Un anneau A est dit intègre si et seulement si :
* A est commutatif
* A n'admet aucun diviseur de zero
* a \neq \emptyset



Exemples :
1) (\mathbb{Z},+,\cdot) est intègre.
2) (\mathbb{Z}/_{6\mathbb{Z}},+,\cdot) n'est pas intègre.


III. Corps

Définition :

un ensemble K muni de deux lois +,\cdot est appelé corps si et seulement si :
* (K,+,\cdot) est un anneau
* 0_{K}\neq1_{K}
* Tout element de K-\lbrace 0\rbrace admet un inverse pour \cdot dans K



Si de plus , \cdot est commutative dans K , on dit que K est un corps commutatif.

Exemples :
\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} sont des corps commutatifs.

Sous-corps

Soient K un corps , L\in P(K). On dit que F est un sous-corps de K si et seulement si :
* F est un sous-anneaux de K
* \forall x\in F-\lbrace 0\rbrace  , x^{-1}\in F



Morphisme de corps

Soit f : K\to K' un morphisme d'anneau .
Si K et K' sont deux corps , f prend le nom de morphisme de corps.



On appliquera la même définition aux endomorphismes , isomorphismes et automorphismes d'anneaux.

Exemple :
L'application identitée et la conjugaison dans \mathbb{C} sont des automorphismes de \mathbb{C}.




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