L'île des mathématiques propose des cours et des exercices de maths et de physique.

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Groupe

On dit que le magma est un groupe si et ssi :

Groupe abélien

On appelle groupe abélien ( ou groupe commutatif ) tout groupe tel que soit commutative

Exemples :
1) est un groupe abélien
2) L'ensemble des applications bijectives de dans est un groupe pour la composition

Proposition :

Tout élément d'un groupe est régulier

Ordre :

Si est un groupe fini, on appelle ordre de G le cardinal de G

Sous-groupes :

Soient un groupe, . On dit que H est un sous-groupe de G si et ssi :

( étant le neutre de G et le symétrique de x dans G )

CNS du Sous-groupes :

Pour que H soit un sous groupe de G , il faut et il suffit que l'on ait :


Exemple :
est un sous groupe de

Sous-groupe engendré :

Soient un groupe , .
L'intersection de tous les sous-groupes de G contenant A est un sous-groupe de G , appelé sous-groupe engendré par A , et noté
Pour tout élément a de G , on notera plutot que

Propriétés

Soient un groupe , .

a) , où est le neutre de G
b) Pour toute partie non vide A de G , est l'ensemble des composés multiples d'éléments de A et de symétriques d'éléments de A

Groupe monogène et générateur :

Un groupe G est dit monogène si et seulement s'il existe un élément a de G tel que .
a est alors appelé générateur de G

Groupe cyclique :

Un groupe G est dit cyclique si et seulement s'il est monogène et fini .

Exemples :
1) est un groupe monogène de générateur 1 (ou -1)
2) n'est pas un groupe monogène

Morphisme de groupes :

Soit un morphisme de magmas . Si et sont des groupes , alors f prend le nom de morphisme de groupes.
Même chose dans le cas où f est un endomorphisme , un isomorphisme ou un automorphisme

Proposition :

Soit un morphisme de groupes . Alors :
a) ( et étant les neutres respectifs de G et G')
b)

noyau et image d'un morphisme de groupe :

Soit un morphisme de groupes .
a) le noyau de est l'ensemble noté tel que :
où est le neutre de G'
est un sous-groupe de G

b) l'image de est l'ensemble noté tel que :

est un sous-groupe de G'

Groupes Isomorphes

Un groupe est dit isomorphe à un groupe si et seulemet s'il existe un isomorphisme entre ces deux groupes .

Exemple :
est isomorphe à car est un isomorphisme de groupe

Transfert de la structure de groupe :

Soient un groupe , un magma . S'il existe un isomorphisme de magmas de sur , alors est un groupe isomorphe au groupe

Anneaux

Définition

Soit A un ensemble muni de deux lci notées et .

1) On dit que (ou : A) est un pseudo-anneau si et seulement si :


2) On dit que A est un anneau si et seulement si :


3) On dit que A est un anneau commutatif si et seulement si :


Exemples :
a) est un anneau commutatif
b) est un anneau commutatif

Calculs dans un anneau :

Soit un anneau . On note :
0 le neutre de +
-x le sym d'un élément x de A pour +
1 (ou 1[sub]A[/sub] ) le neutre de

On a alors :
a) ( on dit que 0 est absorbant pour )

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Binôme de Newton

Soient un anneau , , tel que xy=yx .
On a :

Sous-anneaux

Soient un anneau , . on dit que E est un sous-anneau de A si et seulement si :


Exemples :
1) est un sous-anneau de
2) n'est pas un sous-anneau de

CNS du sous-anneaux

Pour que E soit un sous-anneau de A , il faut et il suffit que :

Morphismes d'anneaux

Soient A,A' deux anneaux , une application .
On dit que est un morphisme d'anneaux si et seulement si :


un endomorphisme d'anneaux A est un morphisme de A dans A
un isomorphisme d'anneaux est un morphisme d'anneaux bijectif
un automorphisme d'un anneaux A est un endomorphisme d'anneaux A

Diviseur :

Soit A un anneau , .
On dit que a est un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite) dans A si et ssi :


On dit que a est un diviseur de zéro dans A si et seulement si c'est un diviseur de zéro à droite et à gauche

Exemples :
1) n'admet aucun diviseur de zéro
2) dans , est un diviseur de zéro à gauche et est un diviseur de zéro à droite

Anneau intègre

Un anneau A est dit intègre si et seulement si :


Exemples :
1) est intègre
2) n'est pas intègre

Corps

Définition :

un ensemble K muni de deux lois est appelé corps si et seulement si :


Si de plus , est commutative dans K , on dit que K est un corps commutatif

Exemples :
sont des corps commutatifs

Sous-corps

Soient K un corps , . On dit que F est un sous-corps de K si et seulement si :

Morphisme de corps

Soit un morphisme d'anneau .
Si K et K' sont deux corps , prend le nom de morphisme de corps

On appliquera la même définition aux endomorphismes , isomorphismes et automorphismes d'anneaux

Exemple :
L'application identitée et la conjugaison dans sont des automorphises de
cours particuliers