Fiche de mathématiques

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Brevet de Technicien Supérieur
Groupement A2
Métropole - Session 2011

Spécialités :
Contrôle industriel et régulation automatique : coefficient 2 - durée : 3 heures
Informatique et réseaux pour l'industrie et les services techniques : coefficient 3 - durée : 3 heures
Systèmes électroniques : coefficient 2 - durée : 3 heures
Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire : coefficient 3 - durée : 4 heures

10 points

exercice 1

On considère un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur représenté par le schéma ci-dessous.

BTS groupement A2 mai 2011 - supérieur : image 1

$s$ représente la tension entre les bornes du condensateur lorsque le circuit est alimenté par une source de tension $v$ et parcouru par un courant $i$ .
Les fonctions $s$ et $v$ sont liées par l'équation différentielle suivante : $RCs'(t) + s(t) = v(t).\hfill (1)$ De plus, on suppose que $s(t) = 0$ , pour tout nombre réel $t$ négatif ou nul.
Pour tout l'exercice on considère que $R = 250 \cdot 10^3 \Omega$ et $C = 20 \cdot 10^{-9}$ F.
On rappelle que la fonction échelon unité $\mathcal{U}$ est définie par : $\left\lbrace\begin{array}{l c l l} \mathcal{U}(t) &=& 0 &\text{si}\:\: t < 0 \\ \mathcal{U}(t) &=& 1 &\text{si}\:\: t \ge 0.\end{array}\right.$ Les parties A, B et C de l'exercice peuvent être traitées indépendamment.

Partie A : QCM

Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la réponse choisie.
Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.

1. La fonction $f$ est un créneau représenté par le schéma suivant :

BTS groupement A2 mai 2011 - supérieur : image 2

$f(t)$ est défini par :

$10\mathcal{U}(t - 1)$

$10\left[\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)\right]$

$10\mathcal{U}(t)$

$\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)$

2. On note $V$ et $S$ les transformées de Laplace respectives des fonctions $v$ et $s$ .
On précise que $s\left(0^{+}\right) = 0$ . Les transformées de Laplace $V$ et $S$ sont telles que :

$S(p) = \dfrac{1}{1 + 0,005p}V(p)$

$s(t) = \dfrac{1}{1 + 0,005p^2}V(p)$

$S(p) = \dfrac{0,005}{0,005 + p}V(p)$

$S(p) = (1 0,005)V(p)$

3. Dans cette question, on suppose que $v(t) = 2$ pour tout nombre réel $t$ positif ou nul. L'équation différentielle (1) s'écrit alors : $0,005s'(t) + s(t) = 2.$ Pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, la solution générale $s$ de l'équation différentielle (1) est définie, $k$ étant une constante réelle, par :

$s(t) = k\text{e}^{-200t} + 2t$

$s(t) = k\text{e}^{200t} + 2$

$s(t) = k\text{e}^{-200t} + 2$

$s(t) = k\text{e}^{-200t}$

Partie B : simulation numérique

Pour simuler le fonctionnement du circuit, on approche la tension d'entrée $v$ par un signal discret causal $x$ et la tension de sortie $s$ par un signal discret causal $y$ .
Un pas de discrétisation $T_{e}$ étant choisi, les signaux $x$ et $y$ vérifient, pour tout nombre entier $n$ , l'équation : $0,005\dfrac{y(n) - y(n - 1)}{T_{e}} + y(n) = x(n).\qquad (2)$

1. Dans toute la suite de l'exercice, on choisit $T_{e} = 0,5 \cdot 10^{-3}$ s.
Montrer que l'équation (2) s'écrit alors : $11y(n) - 10y(n - 1) = x(n)$ .

2. On suppose désormais que $x(n) = 2e(n)$ où $e$ est l'échelon unité causal discret défini par $e(n) = 1$ pour tout entier naturel $n$ .
    a) Montrer que la transformée en $Z$ du signal discret $y$ , notée $Y(z)$ , vérifie : $\dfrac{Y(z)}{z} = \dfrac{2}{11} \times \dfrac{z}{(z - 1)\left(z - \dfrac{10}{11}\right)}$ .
    b) Vérifier que : $Y(z) = \dfrac{2}{11}\left(\dfrac{11z}{z - 1} - \dfrac{10z}{z - \dfrac{10}{11}}\right)$ .
    c) En déduire l'expression de $Y(z)$ sous forme d'une somme.

3. a) Exprimer $y(n)$ en fonction de $n$ , pour tout nombre entier naturel $n$ .
    b) Calculer la limite de $y(n)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .

Partie C

On admet que $y(n) = 2 - 2\left(\dfrac{10}{11} \right)^{n+1}$ .

1. Compléter le tableau de valeurs du signal numérique $y$ figurant sur le document ci-dessous. Les résultats seront arrondis au centième.

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$y(n)$		0,35				0,87			1,15		1,30

Tableau de valeurs de la suite $y$ (à compléter)

2. Représenter graphiquement le signal numérique $y$ sur la figure ci-dessous.

BTS groupement A2 mai 2011 - supérieur : image 3

10 points

exercice 2

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
Le but de la partie A est de calculer le développement en série de Fourier d'une fonction périodique, puis de s'intéresser à la valeur efficace de cette fonction sur une période.
Dans la partie B, il s'agit de retrouver la représentation graphique d'une fonction à partir de son développement en série de Fourier puis de définir cette fonction.

Partie A

On considère la fonction $f$ périodique, de période 2, définie sur l'ensemble des nombres réels par : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} f(t) &=& 0,5t + 0,5\quad \text{si}\quad - 1 < t < 1 \\ f(t)& =& 0,5. \end{array}\right.$ Le développement en série de Fourier de la fonction $f$ s'écrit : $S(t) = a_{0} + \displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n}\cos(n\omega t) + b_{n}\sin (n\omega t)\right)$ .

1. Tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle [-4 ; 4] en utilisant la figure ci-dessous.

BTS groupement A2 mai 2011 - supérieur : image 4

représentation graphique de la fonction $f$ (à compléter)

2. Démontrer que $a_{0} = \dfrac{1}{2}$ .

3. a) Préciser la valeur de la pulsation $\omega$ .
b) En utilisant une intégration par parties, calculer $b_{1}$ .
On admet dans la suite de l'exercice que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1 : $b_{n} = \dfrac{(- 1)^{n+1}}{n\pi}$ .

4. Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $t$ par $g(t) = f(t) - 0,5$ .
a) Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ sur la figure ci-dessous.

BTS groupement A2 mai 2011 - supérieur : image 5

représentation graphique de la fonction $g$ (à compléter)
    b) Quelle propriété de symétrie observe-t-on sur la représentation graphique de la fonction $g$ ?
    c) En comparant les coefficients de Fourier des fonctions $f$ et $g$ , montrer que $a_{n} = 0$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1.

5. On rappelle que la valeur efficace de la fonction $f$ sur une période est le nombre réel positif, noté $f_{\text{eff}}$ , défini par : $f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-1}^1 \left[f(t)\right]^2\:\text{d}t$ . Démontrer que $f_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{3}$ .

6. On rappelle la formule de Parseval : $f_{\text{eff}}^2 = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right)$ . On décide de calculer une valeur approchée, notée $P$ , de $f_{\text{eff}}^2$ en se limitant aux cinq premiers termes de la somme, c'est-à-dire : $P = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2} \displaystyle \sum_{n=1}^{5} \left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right)$ .
    a) Calculer une valeur approchée à 10^-3 près de $P$ , puis de $\dfrac{P}{f_{\text{eff}}^2}$ .
    b) En déduire, en pourcentage, l'erreur commise quand on remplace $f_{\text{eff}}^2$ par $P$ .

Partie B

Soit $h$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels, périodique de période 2, dont le développement en série de Fourier est : $S_{h} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi} \displaystyle \sum_{p = 0}^{+ \infty} \dfrac{1}{(2p + 1)^2} \cos [(2p + 1)\pi t]$ .

1. Déterminer la parité de la fonction $h$ .

2. Sur l'annexe sont proposées quatre représentations graphiques.

BTS groupement A2 mai 2011 - supérieur : image 6

Courbe 1

BTS groupement A2 mai 2011 - supérieur : image 7

Courbe 2

BTS groupement A2 mai 2011 - supérieur : image 8

Courbe 3

BTS groupement A2 mai 2011 - supérieur : image 9

Courbe 4
Laquelle des quatre courbes proposées est la représentation graphique de la fonction $h$ sur l'intervalle [-4 ; 4] ? Justifier le choix effectué.

3. Déterminer $h(t)$ pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1].

Publié par Cel/ le 30-11--0001

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