Il te faudra, comme pour les autres fonctions, être capable de dériver et faire du calcul littéral et numérique avec cette nouvelle fonction. Elle possède des propriétés qui lui sont propres et qui te permettront, en particulier, de lever des indéterminations dans les calculs de limites. Les tableaux sur les opérations avec les limites doivent donc être connus.
Enjeu
Cette fonction servira de base ensuite à d'autres chapitres, comme la fonction logarithme et les nombres complexes. Il est donc important de connaître les propriétés algébriques qui lui sont propres. Certaines démonstrations de cours te permettront de découvrir de nouveaux types de raisonnements avec lesquels tu seras peut-être confronté dans le supérieur.
I. Définition de la fonction exponentielle
Soit (E) l'équation différentielle avec . On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation.
Lemme
Si est une fonction solution de (E), alors pour tout , .
Propriété et définition :
Il y a une unique fonction solution de (E).
Cette solution est appelée fonction exponentielle et est notée .
Démonstration : Soit une fonction solution de (E) et on pose est défini sur , dérivable et :
donc est constante sur .
Cours en vidéo :
Pour tout réel, donc pour tout réel , et .
Conséquence :
est une fonction strictement positive.
La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur (car dérivable) et ne s'annule pas.
II. Propriété algébrique de l'exponentielle
Propriété 1
Pour tous réels et
Démonstration de la propriété 1 : Soit la fonction est dérivable sur .
et d'où car pour tout réel donc
Propriété 2
Pour tous réels et
Démonstration de la propriété 2 :
(On procède par raisonnement par récurrence) Pour , Pour , Pour ,
Notations simplifiées : n'est pas rationnel (), il est transcendant et irrationnel.
alors ,
Propriétés
Par extension, si , sera noté alors les propriétés vues s'écrivent :
Remarque : donc pour tout réel ,
III. Étude de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est définie et dérivable sur .
La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1 ; e).
Limites de aux bornes de son ensemble de définition
Propriétés
Démonstrations : Montrons que pour tout , Soit , et pour on a d'où ( est croissante sur ).
Pour tout , d'où donc
Propriétés
Pour tout ,
Démonstration : Montrons d'abord que Pour cela, on établit que pour , Posons ,
Pour tout , donc d'où pour tout or d'où (avec )
D'autre part : et d'où
On pose (lorsque tend vers , tend vers )
d'où
IV. Dérivée de - Primitive associée
Si est définie et dérivable sur de , la fonction est définie et dérivable sur et De manière générale : (Fonction composée)
Publié par bill159
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à bill159 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !