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Fonction Exponentielle

Pré requis

Il te faudra, comme pour les autres fonctions, être capable de dériver et faire du calcul littéral et numérique avec cette nouvelle fonction. Elle possède des propriétés qui lui sont propres et qui te permettront, en particulier, de lever des indéterminations dans les calculs de limites. Les tableaux sur les opérations avec les limites doivent donc être connus.

Enjeu

Cette fonction servira de base ensuite à d'autres chapitres, comme la fonction logarithme et les nombres complexes. Il est donc important de connaître les propriétés algébriques qui lui sont propres. Certaines démonstrations de cours te permettront de découvrir de nouveaux types de raisonnements avec lesquels tu seras peut-être confronté dans le supérieur.

I. Définition de la fonction exponentielle

Soit (E) l'équation différentielle $f'(x) = f(x)$ avec $f(0) = 1$ . On admet qu'il existe une fonction solution de cette equation.

Lemme

Si $f$ est une fonction solution de (E), alors pour tout $x$ , $f(x) \neq 0$ .

Propriété et définition :

Il y a une unique fonction solution de (E). Cette solution est appelée fonction exponentielle et est notée $\exp$ .

Démonstration :
Soit $f$ une fonction solution de (E) et on pose $g(x) = f(x)f(- x)$
$g$ est défini sur $\mathbb{R}$ , dérivable et :
$g'(x) = f'(x)f(- x) + f(x) $ - f'(- x) $ \\ g'(x) = f(x) f(-x) - f(x) f'(- x) \\ g'(x) = 0$
donc $g$ est constante sur $\mathbb{R}$ .
$g(0) = f(0) \times f(0) = 1$
Pour tout $x$ réel, $f(x) \times f(- x) = 1$ donc pour tout réel $x$ , $f(x) \neq 0$ et $f(- x) = \dfrac{1}{f(x)}$ .
Conséquence :

$(\exp)' = \exp$
$\exp (0) = 1$
$\exp$ est une fonction strictement positive.

La dernière conséquence vient du fait que cette fonction est continue sur

(car dérivable) et ne s'annule pas.

II. Propriété algébrique de l'exponentielle

Propriété 1

Pour tous réels $a$ et $b$
$\exp(a + b) = \exp (a) \exp (b)$

Démonstration de la propriété 1 :
Soit la fonction $g(x) = \dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)}$
$g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$g'(x) = \dfrac{1 \times \exp(a + x)}{\exp(a)} = g(x)$ et $g(0) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(a)} = 1$
d'où $\dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = \exp(x)$ car $\exp(a + x) = \exp(a) \times \exp (x)$ pour tout réel $x$ donc $\dfrac{\exp(a + x)}{\exp(a)} = \dfrac{\exp(a) \times \exp(x)}{\exp(a)} = \exp(x)$

Propriété 2

Pour tous réels $a$ et $b$
$\exp(-a) = \dfrac{1}{\exp(a)} \\ \exp \left( {a - b} \right) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)} \\ \exp (na) = (\exp a)^n$

Démonstration de la propriété 2 :
$\exp(a - b) = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$
$\exp(a - b) = \exp[a + (-b)] = \exp(a) \times \dfrac{1}{\exp(b)} = \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$

$\exp(na) = (\exp a)^n}$ (On procède par raisonnement par récurrence)
$a \in \mathbb{R}, \, n \in \mathbb{Z}$
Pour $n = 2$ , $\exp(2a) = \exp(a + a) = \exp(a) \times \exp(a) = [\exp(a)]^2}$
Pour $n = 3$ , $\exp(3a) = \exp(2a + a) = \exp(2a) \times \exp(a) = [\exp(a)]^2 \times \exp(a) = [\exp(a)]^3}$
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , $\exp(na) = [\exp(a)^n}$
$\exp[(n + 1)a] = \exp(na + a) = \exp(na) \times \exp (a) = [\exp(a)]^n \times \exp(a) = [\exp(a)]^{n + 1}$

Notations simplifiées : $\exp(1) \simeq 2,7182$
$e$ n'est pas rationnel ( $e \notin \mathbb{Q}$ ), il est transcendant et irrationnel.
alors $\exp(n) = \exp(n \times 1) = (\exp 1)^n = e^n$ , $n \in \mathbb{N}^*$

Propriétés

Par extension, si $x \in \mathbb{R}$ , $\exp(x)$ sera noté $e^x$ alors les propriétés vues s'écrivent :
$e^0 = 1 \\ e^{a + b} = e^a \times e^b \\ e^{ - a} = \dfrac{1}{e^a} \\ e^{a - b} = \dfrac{e^a}{e^b} \\ e^{na} = (e^a)^n}$

Remarque :
$e^x = e^{2 \times \frac{x}{2}} = $e^{\frac{x}{2}}$^2} > 0$ donc pour tout réel $x$ , $e^x > 0$

III. Étude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .
$\exp'(x) = e^x$

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x &-\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline \niveau{2}{2}e^x & 0 & \croit & 1 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonnées (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonnées (1 ; e).

Limites de $e^x$ aux bornes de son ensemble de définition

Propriétés

$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty \\ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } e^x = 0$

Démonstrations :
$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty$
Montrons que pour tout $x \ge 0$ , $e^x \ge x + 1$
Soit $g(x) = e^x - x$ , $g'(x) = e^x - 1$ et pour $x \ge 0$ on a $e^x \ge e^0 \Rightarrow e^x \ge 1$ d'où $g'(x) \ge 0$ ( $g$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$ ).

$\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x &0& && +\infty \\ \hline \niveau{2}{2}g(x) & 1 & & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

Pour tout $x \ge 0$ , $g(x) \ge 1 \Rightarrow e^x - x \ge 1$ d'où $e^x \ge x + 1 \ge x$ donc $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} e^x = + \infty$

$\displaystyle \lim _{x \to - \infty} e^x = 0$
$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} e^x = \displaystyle \lim_{t \to + \infty} e^{ - t} = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{e^t} = 0$

Propriétés

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ ,
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$

Démonstration :
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
Montrons d'abord que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty } \frac{e^x}{x} = + \infty$
Pour cela, on établit que pour $x \ge 0$ , $e^x \ge \dfrac{x^2}{2}$
Posons $h(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}$ , $h'(x) = e^x - x$

$\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x &0& && +\infty \\ \hline \niveau{1}{2} h(x) & 1 & & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$
Pour tout $x \ge 0$ , $e^x - \dfrac{x^2}{2} \ge 1$ donc $e^x \ge 1 + \dfrac{x^2}{2} \ge \dfrac{x^2}{2}$
$x \ge 0 \Rightarrow e^x > \dfrac{x^2}{2}$
$x > 0 \Rightarrow \dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2}$ d'où $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = + \infty$
$$ e^{\frac{x}{n}} $^n = e^x$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
$\dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{ $ e^{\frac{x}{n}} $^n}{x^n} = $ \dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n} \times n} $^n = $ \dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}} $^n \times \dfrac{1}{n^n}$
or $\displaystyle \lim_{X \to + \infty } \frac{e^X}{X} = + \infty$ d'où $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{ e^{\frac{x}{n}} }{\frac{x}{n}} = +\infty$ (avec $X = \dfrac{x}{n}$ )
D'autre part : $\displaystyle \lim_{t \to + \infty} t^n = + \infty$ et $\dfrac{1}{n^n} > 0$ d'où $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n}$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$
On pose $t = - x$ (lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ , $t$ tend vers $- \infty$ )
$x^n e^x = (- t)^n e^{- t} = (- 1) \times \dfrac{t^n}{e^t}$
d'où $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n e^x = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} $- \dfrac{t^n}{e^t} $ = 0$

IV. Dérivée de ${e^{u}}$ - Primitive associée

Si $u$ est définie et dérivable sur $I$ de $\mathbb{R}$ , la fonction $f(x) = e^{u( x)}$ est définie et dérivable sur $I$ et $f'(x) = \left(e^{u( x)} \right)' = u'(x) e^{u(x)}$
De manière générale : $\left(e^{u}\right)' = u'e^u$ (Fonction composée)

Publié par bill159 le 03-02-2020

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