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Théorème de Thalès

Introduction :
Cette fiche de cours gratuite sur le théorême de Thalès et sa réciproque agrémentée de nombreux schémas vous permettra de vous familiariser ou tout au moins de comprendre le théorême de thalès (et sa réciproque), qui est une notion fondamentale du programme de géométrie et de mathématiques de 3ème. A la fin de cette fiche, vous trouverez aussi une fiche interactive, ainsi qu'un résumé vidéo tourné dans les studios de digiSchool avec un de nos professeurs de mathématiques.

Pré requis

Dans cette fiche, tu vas découvrir la proportionnalité dans les triangles. Il faut donc savoir déterminer un coefficient de proportionnalité ainsi qu'être capable de trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité. Tu seras également amené parfois à résoudre des équations. Il te faudra donc savoir résoudre des équations du type ax + b = 0.

Enjeu

Le théorème de Thalès permet de déterminer des longueurs manquantes quand des droites sont parallèles dans un triangle et sa réciproque te fournira, si certaines conditions sont remplies, des droites parallèles. Il faut être particulièrement attentif aux hypothèses d'application de ces propriétés. Avec le théorème de Pythagore, ce sont des propriétés essentielles pour apprendre à construire des raisonnements et écrire convenablement des démonstrations en géométrie.

I. Théorème de Thalès

1. Rappel (4ème)

Théorème de Thalès et réciproque - Cours Maths 3ème : image 1

Dans un triangle ABC,
si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC],
et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$

Autre configuration connue :

Théorème de Thalès et réciproque - Cours Maths 3ème : image 2

2. Exercice découverte : nouvelle configuration de Thalès

On considère la figure suivante :

Théorème de Thalès et réciproque - Cours Maths 3ème : image 3

Les droites (d) et (d') sont sécantes en A ;
B et M sont deux points de la droite (d), distincts de A ;
C et N sont deux points de la droite (d'), distincts de A ;
les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
a) Par la symétrie de centre A, construire les points M' et N', symétriques respectifs des points M et N.
b) Que peut-on dire des droites (M'N') et (BC) ? Expliquer.
c) Expliquer pourquoi AM' = AM, AN' = AN et MN = M'N'.
d) Expliquer pourquoi $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$ .

Solution :
a)

Théorème de Thalès et réciproque - Cours Maths 3ème : image 4

b) On sait que les points M' et N' sont les symétriques respectifs des points M et N par rapport au point A. Donc (M'N') est la symétrique de (MN) par rapport à A.
Or, la symétrique d'une droite par rapport à un point est une droite parallèle.
On en déduit que les droites (MN) et (M'N') sont parallèles.
De plus, on sait que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
On en conclut que les droites (M'N') et (BC) sont parallèles.

c) On sait que M' est le symétrique de M par rapport à A, donc AM' = AM.
On sait que N' est le symétrique de N par rapport à A, donc AN' = AN.
Les segments [MN] et [M'N] sont symétriques par rapport à A. Or, la symétrie centrale conserve les longueurs, donc MN = M'N'.

d) Dans le triangle ABC, M' est un point du côté [AB], N' est un point du côté [AC] et les droites (M'N') et (BC) sont parallèles, alors $\dfrac{\text{AM'}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN'}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{M'N'}}{\text{BC}}$ .
Or, on a montré que AM' = AM, AN' = AN et que M'N' = MN, donc : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$ .

3. Conclusion

Les trois configurations de Thalès :

Théorème de Thalès :

Soient (d) et (d') sont deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de la droite (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de la droite (d'), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$ .

4. Exemple

Théorème de Thalès et réciproque - Cours Maths 3ème : image 6

Sur la figure ci-dessus, on donne :
AB = 12 cm, AN = 4cm, AC = 6 cm, MN = 3 cm.
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Calculer AM, puis BC.

Solution :
Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Donc, d'après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$ ,
c'est-à-dire : $\dfrac{\text{AM}}{12} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{\text{BC}}$ .
De $\dfrac{\text{AM}}{12} = \dfrac{4}{6}$ , on déduit que : AM = $\dfrac{4 \times 12}{6} = \dfrac{4 \times 6 \times 2}{6} = 8$
Donc : AM = 8 cm
De $\dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{BC}$ , on déduit que : BC = $\dfrac{6 \times 3}{4} = \dfrac{2 \times 3 \times 3}{2 \times 2} = \dfrac{9}{2} = 4,5$
Donc : BC = 4,5 cm

II. Réciproque du théorème de Thalès

Données :
$\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}$
A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre.

Réciproque du théorème de Thalès :

Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A,
Soient B et M deux points de (d), distincts de A,
Soient C et N deux points de (d'), distincts de A.
Si $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}$ et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre,
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Exemple :

Théorème de Thalès et réciproque - Cours Maths 3ème : image 7

Sur la figure ci-dessus, les points A, M, B et A, N, C sont alignés.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Solution :
On a : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{9}{5,4} = \dfrac{90}{54} = \dfrac{5 \times 18}{3 \times 18} = \dfrac{5}{3}$ et $\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{17,5}{10,5} = \dfrac{175}{105} = \dfrac{5 \times 35}{3 \times 35} = \dfrac{5}{3}$ .
Donc : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}$ .
De plus, les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, les points C, A, N sont alignés dans le même ordre que les points B, A, M.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Cours en vidéo sur la réciproque du théorême de Thalès:

III. Construction de points

On peut aussi utiliser le théorème de Thalès pour placer des points.

1. Construction : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \text{k}$

Exercice :
Placer deux points A et B.
Tracer à la règle non graduée et au compas le point M du segment [AB] qui vérifie $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{4}{7}$ .

Solution :
- On trace une demi-droite [A $x$ ).
- On choisit une ouverture de compas et on trace sur [A $x$ ) sept segments consécutifs de même longueur à partir du point A. On place M' et B' tel que AM' = 4 et AB' = 7.
- On trace (BB'), puis sa parallèle passant par M'. Elle coupe [AB] en M.

Théorème de Thalès et réciproque - Cours Maths 3ème : image 8

Justification :
Les droites (B'M') et (BM) sont sécantes en A, les droites (BB') et (MM') sont parallèles.
Donc, d'après le théorème de Thalès : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AM'}}{\text{AB'}}$ .
Et comme $\dfrac{\text{AM'}}{\text{AB'}} = \dfrac{4}{7}$ (par construction), alors on a : $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{4}{7}$ .

2. Construction : $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}} = \text{k}$

Exercice :
Placer deux points A et B.
Tracer à la règle non graduée et au compas les points M de la droite (AB) tels que $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}} = \dfrac{2}{5}$ .

Solution :
- On trace deux droites parallèles (d) et (d') telles que (d) passe par A et (d') passe par B.
- On choisit une ouverture de compas et on trace sur la droite (d) deux segments consécutifs de même longueur de part et d'autre du point A. Et on trace sur la droite (d') cinq segments consécutifs de même longueur à partir du point B (on garde la même unité).
- On place G₁ et G₂ sur la droite (d) tels que AG₁ = AG₂ = 2 et H sur la droite (d') tel que BH = 5.
- Les droites (HG₁) et (HG₂) coupent (AB) en M₁ et M₂.

Théorème de Thalès et réciproque - Cours Maths 3ème : image 9

Justification :
- Les droites (G₂H) et (AB) sont sécantes en M₂. Les droites (AG₂) et (BH) sont parallèles.
Donc d'après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{\text{M}_2\text{G}_2}{\text{M}_2\text{H}} = \dfrac{\text{M}_2\text{A}}{\text{M}_2\text{B}} = \dfrac{\text{AG}_2}{\text{BH}}$ . Or, $\dfrac{\text{AG}_2}{\text{BH}} = \dfrac{2}{5}$ , donc $\dfrac{\text{M}_2\text{A}}{\text{M}_2\text{B}} = \dfrac{2}{5}$ .
- Les droites (AB) et (G₁H) sont sécantes en M₁. Les droites (AG₁) et (BH) sont parallèles.
Donc d'après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{\text{M}_1\text{A}}{\text{M}_1\text{B}} = \dfrac{\text{M}_1\text{G}_1}{\text{M}_1\text{H}} = \dfrac{\text{AG}_1}{\text{BH}}$ . Or, $\dfrac{\text{AG}_1}{\text{BH}} = \dfrac{2}{5}$ , donc $\dfrac{\text{M}_1\text{A}}{\text{M}_1\text{B}} = \dfrac{2}{5}$ .
interactif

Fiche interactive :

Théorème de Thalès et sa réciproque

Publié par Tom_Pascal le 09-10-2022

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